【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018本試【解説・正解・問題】

1 2 3 4 5

第5問 解答・解説

ア イ ウ 2 5 3 エオ カ 20 9

キク ケ 10 9 コ,サ 0,4 シ ス 5 8

セ ソ 5 3 タ 1

BC=$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

角二等分線の性質より

AB:AC=BD:CD

2:1=BD:CD

したがって

BD=$\sqrt{5}\cdot\cfrac{2}{3}=\cfrac{2\sqrt{5}}{3}$

・・・アイウ

方べきの定理より

BE・BA=$\text{BD}^2$

AB・BE=$\Big(\cfrac{2\sqrt{5}}{3}\Big)^2=\cfrac{20}{9}$

・・・エオカ

2・BE=$\cfrac{20}{9}$

BE=$\cfrac{10}{9}$

・・・キクケ

$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}=\cfrac{\space\cfrac{10}{9}}{\cfrac{2\sqrt{5}}{3}}=\cfrac{\space\cfrac{10}{9}\times9}{\cfrac{2\sqrt{5}}{3}\times9}$

$=\cfrac{10}{6\sqrt{5}}=\cfrac{5}{3\sqrt{5}}=\cfrac{5\sqrt{5}}{15}$

$=\cfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$

ここで,$\cfrac{\sqrt{5}}{3}$ と $\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ の大小を比べると

$\cfrac{5}{15}$ < $\cfrac{6}{15}$

$\cfrac{1}{3}$ < $\cfrac{2}{5}$

よって

$\cfrac{\sqrt{5}}{3}$ < $\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$

したがって

$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}$ < $\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$

・・・コ

仮に $\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}$ = $\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$ ならば,DE // AC である。よって,$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}$ < $\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$ のとき,CD < AE である。したがって,直線 AC と直線 DE の交点は辺 AC の端点 C の側の延長上にある。

・・・サ

次に,メネラウスの定理より

$\cfrac{\text{BE}}{\text{EA}}\cdot\cfrac{\text{AF}}{\text{FC}}\cdot\cfrac{\text{CD}}{\text{DB}}=1$

$\cfrac{10}{8}\cdot\cfrac{\text{AF}}{\text{FC}}\cdot\cfrac{1}{2}=1$

$\cfrac{\text{AF}}{\text{CF}}=\cfrac{8}{5}$

$\cfrac{\text{CF}}{\text{AF}}=\cfrac{5}{8}$

・・・シス

CF:AF = 5:8 だから,AC:CF=3:5

3CF = 5AC

3CF = 5

CF=$\cfrac{5}{3}$

・・・セソ

$\cfrac{\text{CF}}{\text{AC}}=\cfrac{\text{BF}}{\text{AB}}$ より,CF:AC=BF:AB=5:3

よって,角二等分線の性質より BC は ∠ABF の角二等分線である。また,AD は ∠BAC の角二等分線だから,その交点である点 D は △ABC の内心である。

・・・タ

第5問 問題文

△ABC において AB=2,AC=1,∠A=90° とする。

∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とすると,BD=$\cfrac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}$ である。

点 A を通り点 D で辺 BC に接する円と辺 AB との交点で A と異なるものを E とすると,AB・BE=$\cfrac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ であるから,BE=$\cfrac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ である。

次の $\boxed{\text{コ}}$ には下の⓪~②から,$\boxed{\text{サ}}$ には③・④から当てはまるものを一つずつ選べ。

$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}\boxed{\text{コ}}\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$ であるから,直線 AC と直線 DE の交点は辺 AC の端点 $\boxed{\text{サ}}$ の側の延長上にある。

⓪ < ① = ② > ③ A ④ C

その交点を F とすると,$\cfrac{\text{CF}}{\text{AF}}$=$\cfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であるから,CF=$\cfrac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。したがって,BF の長さが求まり,$\cfrac{\text{CF}}{\text{AC}}$=$\cfrac{\text{BF}}{\text{AB}}$ であることがわかる。

次の $\boxed{\text{タ}}$ には下の⓪~③から当てはまるものを一つ選べ。

点 D は △ABF の $\boxed{\text{タ}}$。

⓪ 外心である ① 内心である ② 重心である

③ 外心,内心,重心のいずれでもない

1 2 3 4 5