【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018本試【解説・正解・問題】

第5問　解答・解説

ア イ ウ 2 5 3　エオ カ 20 9

キク ケ 10 9　コ,サ 0,4　シ ス 5 8

セ ソ 5 3　タ 1

BC＝$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

角二等分線の性質より

AB：AC＝BD：CD

2：1＝BD：CD

したがって

BD＝$\sqrt{5}\cdot\cfrac{2}{3}=\cfrac{2\sqrt{5}}{3}$

・・・アイウ

方べきの定理より

BE・BA＝$\text{BD}^2$

AB・BE＝$\Big(\cfrac{2\sqrt{5}}{3}\Big)^2=\cfrac{20}{9}$

・・・エオカ

2・BE＝$\cfrac{20}{9}$

BE＝$\cfrac{10}{9}$

・・・キクケ

$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}=\cfrac{\space\cfrac{10}{9}}{\cfrac{2\sqrt{5}}{3}}=\cfrac{\space\cfrac{10}{9}\times9}{\cfrac{2\sqrt{5}}{3}\times9}$

$=\cfrac{10}{6\sqrt{5}}=\cfrac{5}{3\sqrt{5}}=\cfrac{5\sqrt{5}}{15}$

$=\cfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$

ここで，$\cfrac{\sqrt{5}}{3}$ と $\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ の大小を比べると

$\cfrac{5}{15}$ ＜ $\cfrac{6}{15}$

$\cfrac{1}{3}$ ＜ $\cfrac{2}{5}$

よって

$\cfrac{\sqrt{5}}{3}$ ＜ $\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$

したがって

$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}$ ＜ $\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$

・・・コ

仮に $\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}$ ＝ $\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$ ならば，DE // AC である。よって，$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}$ ＜ $\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$ のとき，CD ＜ AE である。したがって，直線 AC と直線 DE の交点は辺 AC の端点 C の側の延長上にある。

・・・サ

次に，メネラウスの定理より

$\cfrac{\text{BE}}{\text{EA}}\cdot\cfrac{\text{AF}}{\text{FC}}\cdot\cfrac{\text{CD}}{\text{DB}}=1$

$\cfrac{10}{8}\cdot\cfrac{\text{AF}}{\text{FC}}\cdot\cfrac{1}{2}=1$

$\cfrac{\text{AF}}{\text{CF}}=\cfrac{8}{5}$

$\cfrac{\text{CF}}{\text{AF}}=\cfrac{5}{8}$

・・・シス

CF：AF ＝ 5：8 だから，AC：CF＝3：5

3CF ＝ 5AC

3CF ＝ 5

CF＝$\cfrac{5}{3}$

・・・セソ

$\cfrac{\text{CF}}{\text{AC}}=\cfrac{\text{BF}}{\text{AB}}$ より，CF：AC＝BF：AB＝5：3

よって，角二等分線の性質より BC は ∠ABF の角二等分線である。また，AD は ∠BAC の角二等分線だから，その交点である点 D は △ABC の内心である。

・・・タ

第５問　問題文

△ABC において AB＝2，AC＝1，∠A＝90° とする。

∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とすると，BD＝$\cfrac{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}$ である。

点 A を通り点 D で辺 BC に接する円と辺 AB との交点で A と異なるものを E とすると，AB・BE＝$\cfrac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ であるから，BE＝$\cfrac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ である。

次の $\boxed{\text{コ}}$ には下の⓪～②から，$\boxed{\text{サ}}$ には③・④から当てはまるものを一つずつ選べ。

$\cfrac{\text{BE}}{\text{BD}}\boxed{\text{コ}}\cfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$ であるから，直線 AC と直線 DE の交点は辺 AC の端点 $\boxed{\text{サ}}$ の側の延長上にある。

⓪ ＜　① ＝　② ＞　③ A　④ C

その交点を F とすると，$\cfrac{\text{CF}}{\text{AF}}$＝$\cfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であるから，CF＝$\cfrac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。したがって，BF の長さが求まり，$\cfrac{\text{CF}}{\text{AC}}$＝$\cfrac{\text{BF}}{\text{AB}}$ であることがわかる。

次の $\boxed{\text{タ}}$ には下の⓪～③から当てはまるものを一つ選べ。

点 D は △ABF の $\boxed{\text{タ}}$。

⓪ 外心である　① 内心である　② 重心である

③ 外心，内心，重心のいずれでもない