【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018本試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

ア,イ,ウ 4,3,2　エオ 15　カ 2　キク 41

ケ 7 コサシ 144　ス 2　セソ 23

(1)

144＝$2^4\times3^2$

・・・アイウ

約数は $2^0$ から $2^4$ と $3^0$ から $3^2$ の組合せだから

$5\times3=15$ 個

・・・エオ

(2)

$144x-7y=1$

互除法を用いて

$144=7\cdot20+4$

$7=4\cdot1+3$

$4=3\cdot1+1$

それぞれ移項して

$4=144-7\cdot20$

$3=7-4$

$1=4-3$

代入して

$1=4-(7-4)$

$=4\cdot2-7$

$(144-7\cdot20)\cdot2-7\cdot41$

$144\cdot2-7\cdot41$

したがって

$x$＝2，$y$＝41

整数解を求めると

$144x-7y=1$

$144\cdot2-7\cdot41=1$

式どうしを引いて

$144(x-2)-7(y-41)=0$

$144(x-2)=7(y-41)$

144 と 7 は互いに素だから，$k$ を整数とおくと

$x-2=7k$

$x=7k+2$

上の式に代入して

$144(7k+2-2)=7(y-41)$

$144\cdot7k=7(y-41)$

$144k=y-41$

$y=144k+41$

したがって

$x=7k+2$，$y=144k+41$

・・・ケコサシ

$x$ の絶対値が最小になるのは $k=0$ のとき，$x=2$，$y=41$

・・・カキク

(3)

144 の倍数を $144x$ とおくと，(2) より

$144x-7y=1$

$144x=7y+1$

$144x$ は 7 で割ったら余りが 1 になる数である。$x=7k+2$ だから，$144x$ は $k$ ≧ 0 のとき自然数となる。

$144x=2^4\cdot3^2x$ だから

(i) $k=0$ のとき

$x=7\cdot0+2=2$ だから

$144x=2^5\cdot3^2$

約数は $6\times3=18$ 個

したがって，正の約数の個数が 18 個である最小のものは，$144\times2$

・・・ス

(ii) $k=1$ のとき

$x=7\cdot1+2=9=3^2$

$144x=2^4\cdot3^4$

約数は $5\times5=25$ 個

(iii) $k=2$ のとき

$x=7\cdot2+2=16=4^2$

$144x=2^4\times3^2\times4^2$

約数は $5\times3\times3=45$ 個

(iv) $k=3$ のとき

$x=7\cdot3+2=23$

$144x=2^4\times3^2\times23$

約数は $5\times3\times2=30$ 個

したがって，正の約数の個数が 30 個である最小のものは $144\times3$

・・・セソ

第４問　問題文

(1) 144 を素因数分解すると

144＝$2^{\boxed{\text{ア}}}\times\boxed{\text{イ}}^{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，144 の正の約数の個数は $\boxed{\text{エオ}}$ 個である。

(2) 不定方程式

$144x-7y=1$

の整数解 $x$，$y$ の中で，$x$ の絶対値が最小になるのは

$x$＝$\boxed{\text{カ}}$，$y$＝$\boxed{\text{キク}}$

であり，すべての整数解は，$k$ を整数として

$x$＝$\boxed{\text{ケ}}k+\boxed{\text{カ}}$，

$y$＝$\boxed{\text{コサシ}}k+\boxed{\text{キク}}$

と表される。

(3) 144 の倍数で，7 で割ったら余りが 1 となる自然数のうち，正の約数の個数が 18 個である最小のものは $144\times\boxed{\text{ス}}$ であり，正の約数の個数が 30 個である最小のものは $144\times\boxed{\text{セソ}}$ である。