共テ・センター数学

【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2018本試【解説・正解・問題】

第1, 2問必答。第3~5問はいずれか2問を選択し, 解答。

第1問 解答・解説

ア 5 イ,ウエ 6,14 オ 2 カ 8 キ 2

ク 0 ケ 2 コ 0 サ シ 1 3 ス 1

セ 1 ソ タ 4 5 チ ツテ ト 7 13 4

$(x+n)(n+5-x)$ を展開すると

$=(x+n)\{n+(5-x)\}$

$=nx+x(5-x)+n^2+n(5-x)$

$=x(5-x)+n^2+n(x+5-x)$

$=x(5-x)+n^2+5n$

・・・ア

$X=x(5-x)=5x-x^2$ とおくと

$(x+1)(6-x)=6x-x^2+6-x$

$=5x-x^2+6=X+6$

$(x+2)(7-x)=7x-x^2+14-2x$

$=5x-x^2+14=X+14$

したがって

$A=X(X+6)(X+14)$

・・・イウエ

また,$x=\cfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき

$X=\cfrac{5+\sqrt{17}}{2}\Big(5-\cfrac{5+\sqrt{17}}{2}\Big)$

$=\cfrac{5+\sqrt{17}}{2}\Big(\cfrac{10-5-\sqrt{17}}{2}\Big)$

$=\cfrac{5+\sqrt{17}}{2}\Big(\cfrac{5-\sqrt{17}}{2}\Big)$

$=\cfrac{25-17}{4}=2$

・・・オ

$A=2(2+6)(2+14)=2\cdot8\cdot16$

$=2\cdot2^3\cdot2^4=2^8$

・・・カ

〔2〕

ad

(1)

(a) $A$ ⊂ $C$

$A$ は 20 以下の自然数のうち 20 の約数だから

$A$={ 1, 2, 4, 5, 10 ,20}

$C$ は 20 以下の自然数のうち偶数だから

$C$={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

1 と 5 は $C$ に含まれないので,誤り。

(b) $A$ ∩ $B$ = $\varnothing$

$B$ は 20 以下の自然数のうち 3 の倍数だから

$B$={3, 6, 9, 12, 15 ,18}

$A$ に 3 の倍数は含まれないので,$A$,$B$ どちらにも含まれる要素はない。よって,正しい。

・・・キ

(c) ($A$ ∪ $C$) ∩ $B$ ={6, 12, 18}

($A$ ∪ $C$) ∩ $B$ は $A$ または $C$ のうち 3 の倍数だから,6, 12, 18 である。よって,正しい。

(d) ($\overline{A}$ ∩ $C$) ∪ $B$ = $\overline{A}$ ∩ ($B$ ∪ $C$)

$\overline{A}$ ∩ $C$ は 20 以下の偶数のうち 20 の約数でないものだから

$(\overline{A}$ ∩ $C$)={6, 8, 12, 14, 16, 18, 20}

よって

($\overline{A}$ ∩ $C$) ∪ $B$ ={3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

また,$\overline{A}$ ∩ ($B$ ∪ $C$) は 20 以下の偶数または 3 の倍数のうち 20 の約数でないものだから

$\overline{A}$ ∩ ($B$ ∪ $C$)={3, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

よって,正しい。

・・・ク

ad

(2)

($q$ または $r$) $\implies$ $p$ を考えると

$p$:$|x-2|$ > 2

$x$ ≧ 2 のとき,$x-2$ > 2 だから $x$ > 4

$x$ < 2 のとき,$-x+2$ > 2 だから $x$ < 0

よって,真。

また,$p$ $\implies$ ($q$ または $r$) も真。

したがって,$q$ または $r$ であることは,$p$ であるための必要十分条件。

・・・ケ

次に,$s\implies r$ を考えると

$s$:$\sqrt{x^2}$ > 4

$x^2$ > 16

$x^2-16$ > 0

$(x+4)(x-4)$ > 0

$x$ < -4,$x$ > 4

よって,偽。

また,$s\implies r$ は真。

したがって,$s$ は $r$ であるための必要条件であるが,十分条件ではない。

・・・コ

〔3〕

式を平方完成すると

$f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21$

$=a\Big\{x^2-\cfrac{2}{a}(a+3)x\Big\}-3a+21$

$=a\Big(x-\cfrac{a+3}{a}\Big)^2-\cfrac{(a+3)^2}{a}-3a+21$

$=a\Big(x-1-\cfrac{3}{a}\Big)^2-a-6-\cfrac{9}{a}-3a+21$

$=a\Big(x-1-\cfrac{3}{a}\Big)^2-4a-\cfrac{9}{a}+15$

したがって,$p=1+\cfrac{3}{a}$

・・・サシ

$f(x)$ の最小値が $f(4)$ のとき $p$ ≧ 4

$1+\cfrac{3}{a}$ ≧ 4

$\cfrac{3}{a}$ ≧ 3

$\cfrac{1}{a}$ ≧ 1

$a$ ≦ 1

$a$ は正の実数だから

0 < $a$ ≦ 1

・・・ス

また,$f(x)$ の最小値が $f(p)$ のとき $0$ ≦ $p$ ≦ 4

0 ≦ $1+\cfrac{3}{a}$ ≦ 4

-1 ≦ $\cfrac{3}{a}$ ≦ 3

不等式を分けて考えると

-1 ≦ $\cfrac{3}{a}$

$-a$ ≦ 3

$a$ ≧ -3

また

$\cfrac{3}{a}$ ≦ 3

$\cfrac{1}{a}$ ≦ 1

1 ≦ $a$

2 つを合わせると,1 ≦ $a$

・・・セ

$f(x)$ の最小値が 1 になるとき

(i) 0 < $a$ ≦ 1 のとき

$f(4)=16a-8(a+3)-3a+21=1$

$5a-3=1$

$a=\cfrac{4}{5}$

・・・ソタ

(ii) 1 ≦ $a$ のとき

$f(p)$ の頂点の $y$ 座標は $-4a-\cfrac{9}{a}+15$ だから

$-4a-\cfrac{9}{a}+15=1$

$4a+\cfrac{9}{a}-14=0$

$4a^2-14a+9=0$

$a=\cfrac{7\pm\sqrt{49-36}}{4}$

$=\cfrac{7\pm\sqrt{13}}{4}$

・・・チツテト

第1問 問題文

〔1〕$x$ を実数とし

$A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)$

とおく。整数 $n$ に対して

$(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\boxed{\text{ア}}n$

であり,したがって,$X=x(5-x)$ とおくと

$A=X(X+\boxed{\text{イ}})(X+\boxed{\text{ウエ}})$

と表せる。

$x=\cfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき,$X=\boxed{\text{オ}}$ であり,$A=2^{\boxed{\text{カ}}}$ である。

〔2〕

(1) 全体集合 $U$ を $U=\{x|x$ は 20 以下の自然数$\}$とし,次の部分集合 $A, B, C$ を考える。

$A$ ={$x$|$x$∈$U$ かつ $x$ は 20 の約数}

$B$ ={$x$|$x$∈$U$ かつ $x$ は 3 の倍数}

$C$ ={$x$|$x$∈$U$ かつ $x$ は偶数}

集合 $A$ の補集合を $\overline{A}$ と表し,空集合を $\varnothing$ と表す。

次の $\boxed{\text{キ}}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つ選べ。

集合の関係

(a) $A$ ⊂ $C$

(b) $A$ ∩ $B$=$\varnothing$

の正誤の組合せとして正しいものは $\boxed{\text{キ}}$ である。

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c:c:c:c:c}&\text{⓪}&\text{①}&\text{②}&\text{③}\\\hline(a)&\text{正}&\text{正}&\text{誤}&\text{誤}\\(b)&\text{正}&\text{誤}&\text{正}&\text{誤}\end{array}$

次の $\boxed{\text{ク}}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つ選べ。

集合の関係

(c)($A$ ∪ $C$)∩ $B$={6,12,18}

(d)($\overline{A}$ ∩ $C$)∪ $B$=$\overline{A}$ ∩($B$ ∪ $C$)

の正誤の組合せとして正しいものは $\boxed{\text{ク}}$ である。

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c:c:c:c:c}&\text{⓪}&\text{①}&\text{②}&\text{③}\\\hline(c)&\text{正}&\text{正}&\text{誤}&\text{誤}\\(d)&\text{正}&\text{誤}&\text{正}&\text{誤}\end{array}$

(2) 実数 $x$ に関する次の条件 $p,q,r,s$ を考える。

$p$:|$x$-2|> 2,$q$:$x$ < 0,

$r$:$x$ > 4,$s$:$\sqrt{x^2}$ > 4

次の $\boxed{\text{ケ}}$,$\boxed{\text{コ}}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

$q$ または $r$ であることは,$p$ であるための $\boxed{\text{ケ}}$。また,$s$ は $r$ であるための $\boxed{\text{コ}}$。

⓪ 必要条件であるが,十分条件ではない

① 十分条件であるが,必要条件ではない

② 必要十分条件である

③ 必要条件でも十分条件でもない

〔3〕$a$ を正の実数とし

$f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21$

とする。2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $x$ 座標を $p$ とおくと

$p=\boxed{\text{サ}}+\cfrac{\boxed{\text{シ}}}{a}$

である。

0 ≦ $x$ ≦ 4 における関数 $y=f(x)$ の最小値が $f(4)$ となるような $a$ の値の範囲は

0 < $a$ ≦ $\boxed{\text{ス}}$

である。

また,0 ≦ $x$ ≦ 4 における関数 $y$ = $f(x)$ の最小値が $f(p)$ となるような $a$ の値の範囲は

$\boxed{\text{セ}}$ ≦ $a$

である。

したがって,0 ≦ $x$ ≦ 4 における関数 $y$=$f(x)$ の最小値が 1 であるのは

$a$=$\cfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}$ または $a$=$\cfrac{\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$

のときである。

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