【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2017追試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

ア,イ 3, 4　ウエ,オカ　16, 21

キ,ク　2, 7　ケコ,サシ －3, －1

ス,セ 7,2　ソタチ,ツテ －13, 32

トナニ,ヌネ －17,42　ノハヒ　412

(1)

①を変形すると

$-21x+16y=1$

解の一つを考えると，$x=3$，$y=4$

$-21x+16y=1$

$-21\cdot3+16\cdot4=1$

式どうしを引くと

$-21(x-3)+16(y-4)=0$

$21(x-3)=16(y-4)$

21 と 16 は互いに素だから，$s$ を整数とすると

$x-3=16s$

$x=3+16s$

・・・ウエ

上の式に代入して

$21(3+16s-3)=16(y-4)$

$21\cdot16s=16(y-4)$

$21s=y-4$

$y=4+21s$

・・・オカ

$|x|$ が最小になるのは $s=0$ のとき

$x=3$，$y=4$

・・・アイ

次に，②に $y=4+21s$ を代入すると

$16(4+21s)+12=96z+28$

式を 4 で割ると

$4(4+21s)+3=24z+7$

$16+84s+3=24z+7$

$24z-84s=12$

$6z-21s=3$

$2z-7s=1\cdots\cdots$③

・・・キク

解の一つを考えると，$z=-3$，$s=-1$

$2z-7s=1$

$2(-3)-7(-1)=1$

$2(z+3)-7(s+1)=0$

$2(z+3)=7(s+1)$

2 と 7 は互いに素だから，$t$ を整数とすると

$z+3=7t$

$z=-3+7t$

・・・ス

上の式に代入して

$2(-3+7t+3)=7(s+1)$

$2\cdot7t=7(s+1)$

$2t=s+1$

$s=-1+2t$

・・・セ

$|z|$ が最小になるのは $t=0$ のとき

$z=-3$，$s=-1$

・・・ケコサシ

これを $x=3+16s$ に代入すると

$x=3+16(-1+2t)$

$=3-16+32t$

$=-13+32t$

・・・ソタチツテ

また $y=4+21s$ に代入すると

$y=4+21(-1+2t)$

$=4-21+42t$

$=-17+42t$

・・・トナニヌネ

(2)

(1) より媒介変数 $t$ に値を代入すると，$21x+13=16y+12=96z+28$ を満たす$x$，$y$，$z$ の値を求めることができる。

ここで，$n=96z+28$ の最小値を考えると，$z=-3+7t$ を代入して

$n=96(-3+7t)+28$

$=-288+672t+28$

$=672t-260$

したがって，最小となる自然数 $n$ は $t=1$ のとき，412 である。

・・・ノハヒ

第4問　問題文

(1) 不定方程式

$21x+13=16y+12=96z+28$

の整数解 $x,y,z$ を求めるためには, 2 つの不定方程式

$21x+13=16y+12\cdots\cdots$①

$16y+12=96z+28\cdots\cdots$②

の共通の整数解を求めればよい。まず,①の整数解 $x, y$のうち,$|x|$ が最小になるのは $x=\boxed{\text{ア}}$, $y=\boxed{\text{イ}}$ であり，①のすべての解は $s$ を整数として

$x=\boxed{\text{ア}}]+\boxed{\text{ウエ}}\space s$, $y=\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{オカ}}\space s$

と表される。次にこれらのうち, ②を満たすものを求める。

②に $y=\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{オカ}}\space s$ を代入すると

$\boxed{\text{キ}}\space z-\boxed{\text{ク}}\space s=1\cdots\cdots$③

となる。③の整数解 $z, s$ のうち, $|z|$ が最小になるのは

$z=\boxed{\text{ケコ}}$, $s=\boxed{\text{サシ}}$ であり, ③ のすべての解は $t$ を整数として

$z=\boxed{\text{ケコ}}+\boxed{\text{ス}}\space t$, $s=\boxed{\text{サシ}}+\boxed{\text{セ}}\space t$

と表される。よって, ①, ②の共通解は

$x=\boxed{\text{ソタチ}}+\boxed{\text{ツテ}}\space t$

$y=\boxed{\text{トナニ}}+\boxed{\text{ヌネ}}\space t$

$z=\boxed{\text{ケコ}}+\boxed{\text{ス}}\space t$

である。

(2) 自然数 $n$ は, 21 で割ると 13 余り, 16 で割ると 12 余り, 96 で割ると 28 余るとする。このとき, $x,y,z$ をそれぞれの商とすると

$n=21x+13=16y+12=96z+28$

を満たす。このような $n$ のうち, 最小のものは, $\boxed{\text{ノハヒ}}$ である。