【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2017追試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア イウ 1 16　エ オ 1 4

カキ クケコ 67 256　サ シス 3 32

セ ソタ 9 58　チ ツ 1 2

〔1〕

(1)

2 回とも 1 になる確率は

$\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{16}$

・・・アイウ

2 回とも奇数になる確率は

$\cfrac{2}{4}\cdot\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{4}$

・・・エオ

(2)

余事象として，1 が 1 回より少なく取り出される確率を考えるとよい。

(i) 1 が取り出されない場合

$\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^4=\cfrac{81}{256}$

(ii) 1 が 1 回取り出される場合，反復試行の確率より

$_4C_1\Big(\cfrac{1}{4}\Big)^1\Big(\cfrac{3}{4}\Big)^3=\cfrac{108}{256}$

したがって，求める確率は

$1-\Big(\cfrac{81}{256}+\cfrac{108}{256}\Big)=\cfrac{67}{256}$

・・・カキクケコ

(3)

数字 1，2，3，4 の並べ方は 4! ＝ 24 通り

よって，1 から 4 までのすべての数字が現れる確率は

$\cfrac{24}{4^4}=\cfrac{3}{32}$

・・・サシス

また，条件付き確率を考えると

4 回繰り返しても 1 から 4 のどれかの数字が現れないのは，すべての数字が現れる場合の余事象だから

$1-\cfrac{3}{32}=\cfrac{29}{32}$

ここで，4 回繰り返して 1 以外のすべての数字が現れる場合を考えると

数字の組合せが 2，2，3，4 になる場合

数字 4 個の組合せは 4! 通りだが，2 が重複するのでさらに 2! で割るとよい。

$\cfrac{4!}{2!}\Big(\cfrac{1}{4}\Big)^4=\cfrac{12}{256}=\cfrac{3}{64}$

また，2，3，3，4 と 2，3，4，4 の場合も同様だから

$\cfrac{3}{64}\cdot3=\cfrac{9}{64}$

よって，4 回繰り返して 1 以外のすべての数字が現れ，5 回目で 1 が現れる確率は

$\cfrac{9}{64}\cdot\cfrac{1}{4}=\cfrac{9}{256}$

さらに，現れない数字が 2 から 4 の場合も同様だから

$\cfrac{9}{256}\cdot4=\cfrac{9}{64}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{9}{64}\space}{\cfrac{29}{32}}=\cfrac{\space\cfrac{9}{64}\times64\space}{\cfrac{29}{32}\times64}=\cfrac{9}{58}$

・・・セソタ

〔2〕

2 回とも 1 である確率は

(i) A → A の順でともに 1 を引く場合

$\Big(\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{4}\Big)^2=\cfrac{1}{36}$

(ii) A → B の順でともに 1 を引く場合

$\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{36}$

(iii) B → A の順でともに 1 を引く場合

(ii) と同様に $\cfrac{1}{36}$

(iv) B → B の順でともに 1 を引く場合

$\Big(\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{2}{4}\Big)^2=\cfrac{1}{36}$

したがって，求める確率は

$\cfrac{1}{36}\cdot4=\cfrac{1}{9}$

次に，条件付き確率を求める。

1 回目で B 型の壺から 1 を引き，2 回目は A，B どちらかの壺から 1 を引く確率を考えると

(i) B → A の順でともに 1 を引く確率は $\cfrac{1}{36}$

(ii) B → B の順でともに 1 を引く確率は $\cfrac{1}{36}$

よって，$\cfrac{1}{36}+\cfrac{1}{36}=\cfrac{1}{18}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{1}{18}\space}{\cfrac{1}{9}}=\cfrac{\space\cfrac{1}{18}\times18\space}{\cfrac{1}{9}\times18}=\cfrac{1}{2}$

・・・チツ

第3問　問題文

〔1〕壷の中に 1 から 4 までの数字が一つずつ書かれた 4 枚のカードが入っている。この壺からカードを 1 枚取り出し, その数字を見てもとの壺に戻す試行を行う。

(1) この試行を 2 回行うとき, 2 回続けて数字 1 が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ であり, 2 回続けて奇数の数字が取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

(2) この試行を 4 回行うとき, 数字 1 が少なくとも 2 回取り出される確率は $\cfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{クケコ}}}$ である。

(3) この試行を繰り返すとき, 1 回目から 4 回目までに取り出された数字に, 1 から 4 までのすべての数字が現れる確率は $\cfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}$ である。また, 4 回繰り返してもどれかの数字が現れないという条件のもとで, 更に, もう 1 度試行を行うと 1 から 4 までのすべての数字が現れる条件つき確率は $\cfrac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}$ である。

〔2〕壺を 3 個用意し, そのうち 2 個の壺には, それぞれ, 1 から 4 までの数字が一つずつ書かれた 4 枚のカードが入っている。残りの 1 個の壺には, 数字 1 の書かれたカードが 2 枚, 数字 2 ,3 の書かれたカードがそれぞれ 1 枚入っている。はじめの 2 個の壺を A 型の壺, 残り 1 個の壺を B 型の壺と呼ぶ。ただし, これらの壺は外から見て区別できない。

これら 3 個の壺から 1 個をでたらめに選び, 更にそこからカードを 1 枚取り出しその数字を記録してもとの壺に戻す, という試行を行う。

この試行を 2 回反復したところ, 取り出された数字が 2 回とも 1 であった。このとき 1 回目に選んだ壺が B 型であった条件つき確率は $\cfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。