共テ・センター数学

【センター過去問】数学IA2017追試【問題・解答・解説】

第1問 解答・解説

ア イ ウ 3 3 3 エ 2

オ カ キ, ク ケ コ 3 3 3, 9 3 9

サ 4 シ 3

ス,セ 1,3 (解答の順序は問わない)

ソタ -1 チツ,テ ト -1, 1 3

ナ ニヌ ネ 2 21 3 ノ 2

ad

(1)

$k=\cfrac{6}{\sqrt{3}+1}$

$=\cfrac{6(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

$=\cfrac{6\sqrt{3}-6}{3-1}$

$=\cfrac{6\sqrt{3}-6}{2}$

$=3\sqrt{3}-3$

・・・アイウ

ad

(2)

(i) $(\sqrt{3}+1)x-12$ ≧ 0 のとき

$(\sqrt{3}+1)x$ ≧ 12

$x$ ≧ $\cfrac{12}{\sqrt{3}+1}$

ここで

$2k=\cfrac{12}{\sqrt{3}+1}=6\sqrt{3}-6$

となることを利用して

$x$ ≧ $6\sqrt{3}-6$

また,不等式を解くと

6 ≧ $(\sqrt{3}+1)x-12$

18 ≧ $(\sqrt{3}+1)x$

$x$ ≦ $\cfrac{18}{\sqrt{3}+1}$

ここで,$3k=\cfrac{18}{\sqrt{3}+1}=9\sqrt{3}-9$ より

$x$ ≦ $9\sqrt{3}-9$

よって

$6\sqrt{3}-6$ ≦ $x$ ≦ $9\sqrt{3}-9$

(ii) $(\sqrt{3}+1)x-12$ < 0 のとき

$x$ < $\cfrac{12}{\sqrt{3}+1}=6\sqrt{3}-6$

また,不等式を解くと

6 ≧ $-(\sqrt{3}+1)x+12$

$(\sqrt{3}+1)x$ ≧ 6

$x$ ≧ $\cfrac{6}{\sqrt{3}+1}$

$x$ ≧ $3\sqrt{3}-1$

よって

$3\sqrt{3}-1$ ≦ $x$ ≦ $6\sqrt{3}-6$

範囲を重ねると

$3\sqrt{3}-3$ ≦ $x$ ≦ $9\sqrt{3}-9$

・・・オカキクケコ

不等式を満たす整数を求めると

$3\sqrt{3}=\sqrt{27}$ より

$\sqrt{25}$ < $\sqrt{27}$ < $\sqrt{36}$

5 < $3\sqrt{3}$ < 6

2 < $3\sqrt{3}-3$ < 3

また,$9\sqrt{3}=\sqrt{243}$ より

$\sqrt{225}$ < $\sqrt{243}$ < $\sqrt{256}$

15 < $9\sqrt{3}$ < 16

6 < $9\sqrt{3}-9$ < 7

したがって,不等式を満たす整数は全部で 4 個ある。

・・・サ

〔2〕

(1)

(i) 命題 A

$a$ が無理数のとき,$a^2$ は有理数のときと無理数のときがあり,$1+a^2$ も有理数のときと無理数のときがある。したがって,その平方根も有理数のときと無理数のときがあるため,偽。

(ii) 命題 B

$a$ が有理数のとき,$a^2$ は有理数だから $a^2+1$ も有理数である。しかし,有理数の平方根は有理数のときと無理数のときがあるため,偽。

したがって,命題 A は偽,命題 B は偽である。

・・・シ

(2)

⓪ $a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ $\implies$ $a=b$ を考える。不等式の左側 $a-1$ ≦ $b$ は,言い換えると,「$b$ は $a$ より 1 小さいか,それ以上」となり,$a$ と $b$ が異なる場合を含むので,偽。

また,$a=b$ $\implies$ $a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ を考えると,$a=b$ のとき,$a-1$ ≦ $b$ ,$b$ ≦ $a+1$ はともに成り立つので,真。

よって,$a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ は $a=b$ であるための必要条件である。

したがって,不適。

① $a-2$ ≦ $b$ ≦ $a+2$ $\implies$ $a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ を考える。不等式の左側どうしを比べると,「$b$ は $a$ より 2 小さいか,それ以上」のとき「$b$ は $a$ より 1 小さいか,それ以上」である。これは,たとえば $b$ が $a$ より 2 小さい値のとき,成り立たない。よって,偽。

また,$a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ $\implies$ $a-2$ ≦ $b$ ≦ $a+2$ を考える。不等式の左側どうしを比べると,「$b$ は $a$ より 1 小さいか,それ以上」のとき「$b$ は $a$ より 2 小さいか,それ以上」であり,常に成り立つ。不等式の右側も同様に成り立つので,真。

よって,$a-2$ ≦ $b$ ≦ $a+2$ は $a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ であるための必要条件。

したがって,正しい。

② $p\implies q$ の逆は $q\implies p$ である。したがって,命題「$a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ $\implies$ ($a$=1 かつ $b$=1)」の逆は「($a$=1 かつ $b$=1) $\implies$ $a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$」である。

したがって,不適。

③ $p\implies q$ の対偶は $\overline{p}\implies\overline{q}$ である。また,ド・モルガンの法則より $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ である。これらを用いると

($a$=1 かつ $b$=1) の否定は,($a$≠1 または $b$≠1) となる。

また,$a-1$ ≦ $b$ ≦ $a+1$ の否定を考える。不等式は
($a-1$ ≦ $b$ かつ $b$ ≦ $a+1$)と書き換えることができ,その否定は ($a-1$ > $b$ または $b$ > $a+1$) である。

したがって,正しい。

・・・スセ

〔3〕

(1)

式が 1 次関数であれば直線となるので

$a+1=0$

$a=-1$

・・・ソタ

これを $f(x)$ に代入すると

$f(x)=\{1-2\cdot(-1)\}x^2+2x-(-1)-2$

$=3x^2+2x-1$

$x$ 軸との交点を求めると

$0=3x^2+2x-1$

$(x+1)(3x-1)=0$

$x=-1$,$\cfrac{1}{3}$

・・・チツテト

(2)

$f(x)+g(x)=0$

$(1-2a)x^2+2x-a-2+(a+1)x^2+ax-1=0$

$(1-2a+a+1)x^2+(2+a)x-a-2-1=0$

$(2-a)x^2+(2+a)x-3-a=0$

これがただ一つの実数解を持つとき,判別式 $D=0$ である。

$D=(2+a)^2-4(2-a)(-3-a)=0$

$4+4a+a^2-4(-6-2a+3a+a^2)=0$

$4+4a+a^2+24+8a-12a-4a^2=0$

$-3a^2+28=0$

$a^2=\cfrac{28}{3}$

$a=\pm\cfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

$=\pm\cfrac{2\sqrt{21}}{3}$

また,$2-a=0$ のとき,$(2-a)x^2+(2+a)x-3-a=0$ は 1 次関数となり,ただ 1 つの実数解を持つ。したがって

$a=2$

$a=\pm\cfrac{2\sqrt{21}}{3}$,2

・・・ナニヌネノ

第1問と第2問は必答。第3問から第5問はいずれか2問を選択し,解答する。

第1問 問題文

〔1〕

(1) $k=\cfrac{6}{\sqrt{3}+1}$ とする。分母を有理化する

$k=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-\boxed{\text{ウ}}$

となる。また, $k$ の整数部分は, $\boxed{\text{エ}}$ である。

(2) $x$ に関する不等式

$6\geqq|(\sqrt{3}+1)x-12|$

を解くと

$\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}-\boxed{\text{キ}}\leqq x\leqq\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}$

となり, この不等式を満たす整数は全部で $\boxed{\text{サ}}$ 個ある。

〔2〕

(1) 次の $\boxed{\text{シ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~③のうちから一つ選べ。

命題 A「$a$ が無理数で $1+a^2=b^2$ ならば, $b$ は無理数である」

命題 B 「$a$ が有理数で $1+a^2=b^2$ ならば, $b$ は有理数である」

の真偽について正しいものは, $\boxed{\text{シ}}$ である。

⓪ 命題 A は真, 命題 B は真

① 命題 A は真, 命題 B は偽

② 命題 A は偽, 命題 B は真

③ 命題 A は偽, 命題 B は偽

(2) 次の $\boxed{\text{ス}}$, $\boxed{\text{セ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~④のうちから一つずつ選べ。ただし, 解答の順序は問わない。

実数 $a, b$ について述べた文のうち, 正しいものは $\boxed{\text{ス}}$, $\boxed{\text{セ}}$ である。

⓪ $a-1\leqq b\leqq a+1$ は, $a = b$ であるための十分条件である。

① $a-2\leqq b\leqq a +2$は, $a-1\leqq b\leqq a+1$であるための必要条件である。

② 命題 $a-1\leqq b\leqq a+1\implies (a=1$ かつ $b = 1)$」の逆は「$(a=1$ または $b = 1)\implies a-1\leqq b\leqq a +1$」である。

③ 命題「$a – 1\leqq b\leqq a +1\implies(a=1$ かつ $b = 1)$」の対偶は「$(a\not=1$ または $b\not=1)\implies(a-1\gt b$ または $b\gt a+1)$」である。

〔3〕$a$ を定数とし, 次の2つの関数を考える。

$f(x)=(1-2a)x^2+2x-a-2$

$g(x)=(a+1)x^2+ax-1$

(1) 関数 $y=g(x)$ のグラフが直線になるのは, $a=\boxed{\text{ソタ}}$ のときである。このとき, 関数$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の $x$ 座標は

$\boxed{\text{チツ}}$ と $\cfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}$ である。

(2) 方程式 $f(x)+g(x)=0$ がただ 1 つの実数解をもつのは, $a$ の値が

$\pm\cfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}},\enspace\boxed{\text{ノ}}$

のときである。

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