【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2017本試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

ア,イ 2, 6 (解答の順序は問わない)

ウ 3　エ,オ 0,6　カ,キ 9, 6

ク,ケ,コサ 0, 6, 14　シス 24　セソ 16

タ 8　チツ 24

(1)

3 7 $a$ は

$3\cdot100+7\cdot10+a=370+a$

ここで，$370=4\cdot92+2$ だから

$370+a=4\cdot92+(2+a)$

上の式より，$2+a$ が 4 の倍数ならば，3 7 $a$ は 4 で割り切れる。0 ≦ $a$ ≦ 9 より，当てはまる $a$ は

$a$＝2，6

・・・アイ

(2)

7 $b$ 5 $c$ は

$7\cdot1000+b\cdot100+5\cdot10+c$

$=7050+100b+c$

ここで，$7050=4\cdot1762+2$，$100=4\cdot25$ だから

$7050+100b+c$

$=4\times1762+2+4\cdot25b+c$

$=4(1762+25b)+(2+c)$

上の式より，$2+c$ が 4 の倍数ならば，7 $b$ 5 $c$ は 4 で割り切れる。0 ≦ $c$ ≦ 9 より，当てはまる $c$ は

$c$＝2，6

また，9 で割り切れるときを考えると，$7050=9\cdot783+3$，$100=9\cdot11+1$ だから

$7050+100b+c$

$=9\cdot783+3+(9\cdot11+1)b+c$

$=9\cdot783+3+9\cdot11b+b+c$

$=9(783+11b)+(3+b+c)$

上の式より，$3+b+c$ が 9 の倍数のとき，7 $b$ 5 $c$ は 9 で割り切れる。0 ≦ $b$ ≦ 9 に注意して

$c=2$ のとき，$b=4$ とすると $3+4+2=9$

また，$c=6$ のとき，$b=0$ とすると $3+0+6=9$

さらに，$c=6$ のとき，$b=9$ とすると $3+9+6=18$

したがって，7 $b$ 5 $c$ が 4 でも 9 でも割り切れる $b$，$c$ の組は，(4,2)，(0,6)，(9,6) の 3 個。

・・・ウ

最小になるのは $b=0$，$c=6$ のとき。

最大になるのは $b=9$，$c=6$ のとき。

・・・エオカキ

次に，7 $b$ 5 $c$ ＝ $(6\times n)^2$ を考えると

$(6\times n)^2=36n^2$

7 $b$ 5 $c$ が 4 でも 9 でも割り切れるとき，4 と 9 の最小公倍数 36 で割り切れる。よって，$(b,c)$ が (4,2)，(0,6)，(9,6)の場合で考えるとよい。

(i) $(b,c)$＝(4,2) のとき

7 $b$ 5 $c$＝7452

7452÷36＝207

207 は自然数 $n$ の 2 乗として表すことができない。よって，不適。

(ii) $(b,c)$＝(0,6) のとき

7 $b$ 5 $c$＝7056

7056÷36＝196＝$14^2$

(iii) $(b,c)$＝(9,6) のとき

7 $b$ 5 $c$＝7956

7956÷36＝221

221 は自然数 $n$ の 2 乗として表すことができない。よって，不適。

したがって

$b=0$，$c=6$，$n=14$

・・・クケコサ

(3)

1188 ＝ $2^2\cdot3^3\cdot11$

すべての約数は $2^0$～$2^2$，$3^0$～$3^3$，$11^0$～$11^1$ の組合せだから

$3\cdot4\cdot2=24$ 個

・・・シス

これらのうち，2 の倍数を求めると

2 と 3 と 11 は互いに素だから，2 の倍数となる約数は因数に 2 を含む。よって，$2^1$ または $2^2$ を含む約数は

$2\cdot4\cdot2=16$ 個

・・・セソ

次に，4 の倍数を求めると，因数に $2^2$ を含むものだから，約数は

$1\cdot4\cdot2=8$ 個

・・・タ

さらに，1188 のすべての正の約数の積を 2 進法で表す場合を考える。

$3=1\cdot2^1+1\cdot2^0$ だから $11_{(2)}$ となる。また，$11=1\cdot2^3+1\cdot2^1+1\cdot2^0$ だから $1011$ となる。

さらに $3\times2=6$ を考えると，$110_(2)$ となる。このように，約数の因数に 2 を含むものは末尾に 0 が 1 つあり，同様に 4 を含むものは 0 が 2 つある。つまり，約数の積の末尾の 0 の個数は 因数に含まれる 2 の個数と等しい。

$2^1$ を含む約数は $1\cdot4\cdot2=8$ 個。

$2^2$ を含む約数は $1\cdot4\cdot2=8$ 個。

したがって

$8+8\cdot2=24$ 個。

・・・チツ

第4問　問題文

(1) 百の位の数が3, 十の位の数が7, 一の位の数が $a$ である 3 桁の自然数を $37a$ と表記する。

$37a$ が $4$ で割り切れるのは

$a=\boxed{\text{ア}}$, $\boxed{\text{イ}}$

のときである。ただし, $\boxed{\text{ア}}$, $\boxed{\text{イ}}$ の解答の順序は問わない。

(2) 千の位の数が7, 百の位の数が6, 十の位の数が5, 一の位の数が $c$ である 4 桁の自然数を $7b5c$ と表記する。

$7b5c$ が 4 でも 9 でも割り切れる $b,c$ の組は, 全部で $\boxed{\text{ウ}}$ 個ある。これらのうち, $7b5c$ の値が最小になるのは $b=\boxed{\text{エ}}$, $c=\boxed{\text{オ}}$ のときで, $7b5c$ の値が最大になるのは $b=\boxed{\text{カ}}$, $c=\boxed{\text{キ}}$ のときである。

また, $7b5c=(6\times n)^2$ となる $b, c$ と自然数 $n$ は

$b=\boxed{\text{ク}}$, $c=\boxed{\text{ケ}}$, $n=\boxed{\text{コサ}}$

である。

(3) 1188 の正の約数は全部で $\boxed{\text{シス}}$ 個ある。

これらのうち, 2の倍数は, $\boxed{\text{セソ}}$ 個, 4 の倍数は, $\boxed{\text{タ}}$ 個ある。

1188 のすべての正の約数の積を 2 進法で表すと, 末尾には 0 が連続して $\boxed{\text{チツ}}$ 個並ぶ。