【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2017本試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア イ 5 6　ウ,エ,オ 1,3,5　カ キ 1 2

ク ケ 3 5

コ,サ,シ 0, 3, 5 (解答の順序は問わない)

ス セ 5 6　ソ タ 5 6 チ 6

(1)

$E_1$ の余事象は，A，B のどちらもはずれの場合だから，確率は

$\cfrac{2}{4}\cdot\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{6}$

よって，$E_1=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}$

・・・アイ

(2)

⓪のように A がはずれのくじを引く事象には，B か C もはずれを引く事象が含まれる。この場合，3 人で 1 本のあたりのくじを引くことになるので，⓪②④は不適。

①のとき，A だけがはずれのくじを引くということは，B と C はあたりのくじを引くことである。これは 3 人で 2 本のあたりを引くことだから，適する。したがって，$E$ は①③⑤の和事象である。

・・・ウエオ

$E$ を求めると

(i) A だけがはずれで，B，C があたり

$\cfrac{2}{4}\cdot\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{6}$

(ii) B だけがはずれで，A，C があたり

$\cfrac{2}{4}\cdot\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{6}$

(iii) C だけがはずれで，A，B があたり

$\cfrac{2}{4}\cdot\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{2}{2}=\cfrac{1}{6}$

したがって

$E=\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{2}$

・・・カキ

(3)

条件付き確率は

$\cfrac{E_1\cap E}{E_1}$

$E_1\cap E$ は，A，B の少なくとも一方があたりで，かつ A，B，C の 3 人で 2 本のあたりの場合である。これは，言い換えると，A と B があたり，A と C があたり，B と C があたりということである。この確率は $E$ と等しいから

$\cfrac{\space\cfrac{1}{2}\space}{\cfrac{5}{6}}=\cfrac{\space\cfrac{1}{2}\times6\space}{\cfrac{5}{6}\times6}=\cfrac{3}{5}$

・・・クケ

(4)

② B がはずれのくじを引く事象には，B と C がともにはずれを引く事象が含まれるので，不適。

④ ②と同様に不適。

ここで，①③⑤の和事象を考えると，B だけがあたりを引く場合と，C だけがあたりを引く場合が含まれないので，不適。

⓪には B だけがあたりを引く場合と，C だけがあたりを引く場合が含まれるので，⓪③⑤が正しい。

・・・コサシ

和事象を求めると

(i) A がはずれ

$\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{2}$

(ii) B だけがはずれ

(2)より $\cfrac{1}{6}$

(iii) C だけがはずれ

(2)より $\cfrac{1}{6}$

したがって

$E_2=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}$

・・・スセ

また，A，C の少なくとも一方があたりをひく事象を考える。その余事象は A，C がともにはずれで B があたりの場合だから

$\cfrac{2}{4}\cdot\cfrac{2}{3}\cdot\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{6}$

したがって

$E_3=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}$

・・・ソタ

(5)

$p_1$，$p_2$，$p_3$ をそれぞれ求めると

(i)

$p_1$ は(3)より，$p_1-\cfrac{3}{5}$

(ii)

$p_2$ は $p_2=\cfrac{E_2\cap E}{E_2}$ となる。

ここで，$E_2\cap E$ は，B，C の少なくとも一方があたりで，かつ A，B，C の 3 人で 2 本のあたりの場合である。これは，言い換えると，A と B があたり，A と C があたり，B と C があたりの場合である。つまり，$E$ と等しい。

したがって，

$p_2=\cfrac{\space\cfrac{1}{2}\space}{\cfrac{5}{6}}=\cfrac{3}{5}$

(iii)

$p_3=\cfrac{E_3\cap E}{E_3}$

$E_3\cap E$ は，A，C の少なくとも一人があたりで，かつ A，B，C の 3 人で 2 本のあたりの場合である。これは言い換えると，A と B があたり，A と C があたり，B と C があたりの場合である。つまり，$E$ と等しい。

したがって

$p_3=\cfrac{\space\cfrac{1}{2}\space}{\cfrac{5}{6}}=\cfrac{3}{5}$

大小関係は

$p_1=p_2=p_3$

・・・チ

第3問　問題文

あたりが 2 本, はずれが 2 本の合計 4 本からなるくじがある。A, B, C の 3 人がこの順に 1 本ずつくじを引く。ただし, 1度引いたくじはもとに戻さない。

(1) A, B の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_1$ の確率は, $\cfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。

(2) 次の $\boxed{\text{ウ}}$, $\boxed{\text{エ}}$, $\boxed{\text{オ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし, 解答の順序は問わない。

A, B, C の 3 人で 2 本のあたりのくじを引く事象 $E$ は,　3　つの排反な事象 $\boxed{\text{ウ}}$, $\boxed{\text{エ}}$, $\boxed{\text{オ}}$ の和事象である。

⓪ A がはずれのくじを引く事象

① A だけがはずれのくじを引く事象

② B がはずれのくじを引く事象

③ B だけがはずれのくじを引く事象

④ C がはずれのくじを引く事象

⑤ C だけがはずれのくじを引く事象

また, その和事象の確率は $\cfrac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}$ である。

(3) 事象 $E_1$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率は, $\cfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$ である。

(4) 次の $\boxed{\text{コ}}$, $\boxed{\text{サ}}$, $\boxed{\text{シ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし, 解答の順序は問わない。

B, C の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_2$ は, 3 つの排反な事象 $\boxed{\text{コ}}$, $\boxed{\text{サ}}$, $\boxed{\text{シ}}$ の和事象である。

⓪ A がはずれのくじを引く事象

① A だけがはずれのくじを引く事象

② B がはずれのくじを引く事象

③ Bだけがはずれのくじを引く事象

④ C がはずれのくじを引く事象

⑤ C だけがはずれのくじを引く事象

また, その和事象の確率は $\cfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$ である。他方, A, C の少なくとも一方があたりのくじをひく事象 $E_3$ の確率は, $\cfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}$ である。

(5) 次の $\boxed{\text{チ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~⑥のうちから一つ選べ。

事象 $E_1$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_1$, 事象 $E_2$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_2$, 事象 $E_3$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_3$ の間の大小関係は, $\boxed{\text{チ}}$ である。

⓪ $p_1\lt p_2\lt p_3$　① $p_1\gt p_2\gt p_3$

② $p_1\lt p_2=p_3$　③　$p_1\gt p_2=p_3$

④ $p_1=p_2\lt p_3$　⑤ $p_1=p_2\gt p_3$

⑥ $p_1=p_2=p_3$