共テ・センター数学

【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2017本試【解説・正解・問題】

第1問 解答・解説

アイ 13 ウ 2 エ オカ 7 13 キク 73

ケ 0 コ 3 サ 3 シ 1 ス 2 セ,ソ 3, 5

タ,チツ,テト 9, 24, 16 ナニ ヌネ 25 12

ノハ 16

式を展開すると

$\Big(x+\cfrac{2}{x}\Big)^2=x^2+4+\cfrac{4}{x^2}$

$x^2+\cfrac{4}{x^2}=9$ を代入すると

$\Big(x+\cfrac{2}{x}\Big)^2=13$

・・・アイ

したがって,$x+\cfrac{2}{x}=\sqrt{13}$

また,公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ より

$x^3+\cfrac{8}{x^3}=x^3+\Big(\cfrac{2}{x}\Big)^3$

$=\Big(x+\cfrac{2}{x}\Big)\Big(x^2-2+\cfrac{4}{x^2}\Big)$

$=\Big(x+\cfrac{2}{x}\Big)\Big(x^2+\cfrac{4}{x^2}-2\Big)$

・・・ウ

$=\sqrt{13}(9-2)$

$=7\sqrt{13}$

・・・エオカ

さらに

$\big(x^2+\cfrac{4}{x^2}\Big)^2=x^4+8+\cfrac{16}{x^4}$

$x^4+\cfrac{16}{x^4}=\Big(x^2+\cfrac{4}{x^2}\Big)^2-8$

$=9^2-8=73$

・・・キク

〔2〕

ad

(1)

(i)

$q\implies p$ を考えると,$q$ は $x=\pm1$ だから,$x=-1$ のとき $p$ は成り立たない。よって,偽。また,$p\implies q$ は真。したがって,$q$ は $p$ であるための必要条件だが十分条件でない。

・・・ケ

(ii)

$\overline{p}$ は $x\not=1$ である。$\overline{p}\implies q$ を考えると $x\not=1$ のとき,$x^2\not=1$ である。よって,偽。また,$q\implies\overline{p}$ を考えると,$x=1$ のとき,$\overline{p}$ は成り立たない。よって,偽。したがって,$\overline{p}$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

・・・コ

(iii)

($p$または$\overline{q}$)$\implies q$ を考える。$\overline{q}$ は $x\not=\pm1$ だから,($p$ または $\overline{q}$) は,言い換えると $x$ が 1 であるか,または $x$ が 1 でない,または $x$ が -1 でないものとなる。つまり,$x\not=-1$ である。$x=1$ のとき,$\overline{q}$ は成り立たない。よって,偽。

また,$q\implies(p$または$\overline{q})$ を考えると,$x=-1$ のとき $q\implies(p$または$\overline{q})$ は成り立たない。よって,偽。したがって,$q\implies(p$または$\overline{q})$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

・・・サ

(iv)

$(\overline{p}$ かつ $q)\implies q$ を考える。$(\overline{p}$ かつ $q)$ は,言い換えると $x\not=1$ かつ $x=\pm1$ だから,$x=-1$ である。これは $q$ を満たすので,真。

また,$q\implies(\overline{p}$ かつ $q)$ を考えると,$x=1$ のとき $(\overline{p}$ かつ $q)$ は成り立たないので,偽。

したがって,$(\overline{p}$ かつ $q)$ は $q$ であるための十分条件だが必要条件でない。

・・・シ

ad

(2)

A:「$(p$ かつ $q)\implies r$」

$(p$ かつ $q)$ は $x=1$ だから,真。

B:「$q\implies r$」

$x=-1$ のとき $r$ は成り立たない。よって,偽。

C:「$\overline{q}\implies\overline{p}$」

$\overline{q}\implies\overline{p}$ は,言い換えると,「$x=\pm1$ のとき,$x=1$ ではない。」となる。よって,偽。

・・・ス

〔3〕

式を平方完成すると

$g(x)=(x-3a^2-5a)^2-(3a^2+5a)^2+18a^4+30a^3+49a^2+16$

$=(x-3a^2-5a)^2-9a^4-30a^3-25a^2+18a^4+30a^3+49a^2+16$

$=(x-3a^2-5a)^2+9a^4+24a^2+16$

したがって,頂点の座標は

$(3a^2+5a,\enspace9a^4+24a^2+16)$

・・・セソタチツテト

頂点の $x$ 座標の最小値を求めると,$3a^2+5a$ を平方完成して

$3\Big(a^2+\cfrac{5}{3}a\Big)$

$=3\Big(a+\cfrac{5}{6}\Big)^2-\cfrac{25}{12}$

したがって,最小値は $-\cfrac{25}{12}$

・・・ナニヌネ

また,$t=a^2$ とすると,頂点の $y$ 座標は

$9t^2+24t+16$

となる。このとき,$t=a^2$ より $a$ の値にかかわらず,$t$ > 0 となる。したがって,頂点の $y$ 座標の最小値は $t=0$ のとき,16 である。

・・・ノハ

第1, 2問必答。第3~5問はいずれか2問を選択し, 解答。

第1問 問題文

〔1〕$x$ は正の実数で, $x^2+\cfrac{4}{x^2}=9$ を満たすとする。このとき

$\bigg(x+\cfrac{2}{x}\bigg)=\boxed{\text{アイ}}$

であるから, $x+\cfrac{2}{x}=\boxed{\text{アイ}}$ である。さらに

$x^3+\cfrac{8}{x^3}=\bigg(x+\cfrac{2}{x}\bigg)\bigg(x^2+\cfrac{4}{x^2}-\boxed{\text{ウ}}\bigg)$

$=\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}$

である。また

$x^4+\cfrac{16}{x^4}=\boxed{\text{キク}}$

である。

〔2〕実数 $x$ に関する2つの条件 $p, q$ を

$p:x=1$

$q:x^2=1$

とする。また,条件 $p,q$ の否定をそれぞれ $\overline{p},\overline{q}$ で表す。

(1) 次の$\boxed{\text{ケ}}$, $\boxed{\text{コ}}$, $\boxed{\text{サ}}$, $\boxed{\text{シ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

$q$ は $p$ であるための $\boxed{\text{ケ}}$。

$\overline{p}$ は $q$ であるための $\boxed{\text{コ}}$。

($p$ または $\overline{q}$)は $q$ であるための $\boxed{\text{コ}}$。

($\overline{p}$ かつ $q$)は $q$ であるための $\boxed{\text{シ}}$。

⓪ 必要条件だが十分条件でない

① 十分条件だが必要条件でない

② 必要十分条件である

③ 必要条件でも十分条件でもない

(2) 実数 $x$ に関する条件 $r$ を

$r:x\gt0$

とする。次の $\boxed{\text{ス}}$ に当てはまるものを,下の⓪~⑦のうちから一つ選べ。

3つの命題

A:「($p$ かつ $q$)$\implies r$」

B:「$q\implies r$」

C:「$\overline{q}\implies\overline{p}$」

の真偽について正しいものは $\boxed{\text{ス}}$ である。

⓪ Aは真, Bは真, Cは真

① Aは真, Bは真, Cは偽

② Aは真, Bは偽, Cは真

③ Aは真, Bは偽, Cは偽

④ Aは偽, Bは真, Cは真

⑤ Aは偽, Bは真, Cは偽

⑥ Aは偽, Bは偽, Cは真

⑦ Aは偽, Bは偽, Cは偽

〔3〕$a$ を定数とし, $g(x)=x^2-2(3a^2+5a)x+18a^4+30a^3+49a^2+16$ とおく。2次関数 $y=g(x)$ のグラフの頂点は

$(\boxed{\text{セ}}a^2+\boxed{\text{ソ}}a,\enspace\boxed{\text{タ}}a^4+\boxed{\text{チツ}}a^2+\boxed{\text{テト}})$

である。

$a$ が実数全体を動くとき, 頂点の $x$ 座標の最小値は $-\cfrac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}$ である。

次に, $t=a^2$ とおくと, 頂点の $y$ 座標は

$\boxed{\text{タ}}t^2+\boxed{\text{チツ}}t+\boxed{\text{テト}}$

と表せる。したがって, $a$ が実数全体を動くとき, 頂点の $y$ 座標の最小値は $\boxed{\text{ノハ}}$ である。

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