【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2016追試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

アイ 37　ウエオカ 5291　キクケ 143

コサシ －13　スセ 11　ソ 8

タ,チツ 9, 77　テ 8　ト,ナニ　2, 83

(1)

ユークリッドの互除法より

$481=407\cdot1+74$

$407=74\cdot5+37$

$74=37\cdot2$

したがって，最大公約数は 37

・・・アイ

ここで，2 つの自然数 $a,b$ の最大公約数を $g$, 最小公倍数を $\ell$ とする。$a=ga’$, $b=gb’$ とすると

$\ell=ga’b’$

が成り立つ。

$407=37\cdot11$, $481=37\cdot13$ だから

$\ell=37\cdot11\cdot13=5291$

・・・ウエオカ

また，$\sqrt{abc}$ が整数となる正の整数 $c$ を求めると

$\sqrt{abc}=\sqrt{ga’gb’c}$

$=\sqrt{37^2\cdot11\cdot13\cdot c}$

ここで，$c=11\cdot13$ とすると

$\sqrt{37^2\cdot11^2\cdot13^2}=37\cdot11\cdot13$

したがって, $c=11\cdot13=143$

・・・キクケ

(2)

$ax=-by$

$407x=-481y$

$37\cdot11x=-37\cdot13y$

$11x=-13y$

11 と 13 は互いに素だから, $k$ を整数として

$x=-13k$

上の式に代入して

$11\cdot(-13k)=-13y$

$y=11k$

したがって，

$x=-13k$, $y=11k$ ($k$は整数)

・・・コサシスセ

(3)

$ax+by=40700$

$37\cdot11x+37\cdot13y=40700$

式を 37 で割ると

$11x+13y=1100$

ここで，$11x+13y=1$ として解の一つを求める。互除法を用いて

$13=11\cdot1+2$

$11=2\cdot5+1$

それぞれ移項して

$2=13-11$

$1=11-2\cdot5$

式を代入して

$1=11-(13-11)\cdot5$

$=11\cdot6+13(-5)$

両辺に 1100 をかけると

$11(6\cdot1100)+13(-5+1100)=1100$

となる。

よって

$11x+13y=1100$

$11(6\cdot1100)+13(-5\cdot1100)=1100$

として，上の式から下の式を引くと

$11(x-6600)+13(y+5500)=0$

$11(x-6600)=-13(y+5500)$

ここで，11 と 13 は互いに素だから

$x-6600=-13k$

$x=-13k+6600$

これを上の式に代入して

$11(-13k+6600-6600)=-13(y+5500)$

$11(-13k)=-13(y+5500)$

$11k=y+5500$

$y=11k-5500$

よって

$x=-13k+6600$, $y=11k-5500$

ここで，整数 $x,y$ は 0 以上であることに注意して

$-13k+6600\geqq0$

$k\leqq\cfrac{6600}{13}=507.6\cdots$

また

$11k-5500\geqq0$

$k\geqq500$

よって，当てはまる整数 $k$ の範囲は

$500\leqq k\leqq 507$

したがって，整数 $x,y$ の組は 8 組

・・・ソ

その中で $x$ が最も小さいものを求めると $k=507$ として

$x=-13\cdot507+6600=9$

$y=11\cdot507-5500=77$

・・・タチツ

次に，$ax+by=40700+37$ とすると

$37\cdot11x+37\cdot13y=40700+37$

両辺を 37 で割ると

$11x+13y=1100+1$

$11x+13y=1101$

上で行った計算を利用して

$11x+13y=1101$

$11(6\cdot1101)+13(-5\cdot1101)=1101$

上の式から下の式を引くと

$11(x-6606)+13(y+5505)=0$

$11(x-6606)=-13(y+5505)$

よって

$x-6606=-13k$

$x=-13k+6606$

上の式に代入して

$11(-13k+6606-6606)=-13(y+5505)$

$11(-13k)=-13(y+5505)$

$11k=y+5505$

$y=11k-5505$

よって

$x=-13k+6606$, $y=11k-5505$

$k$ の範囲を求めると

$-13k+6606\geqq0$

$k\leqq\cfrac{6606}{13}=508.1\cdots$

また

$11k-5505\geqq0$

$k\geqq\cfrac{5505}{11}=500.4\cdots$

よって $501\leqq k\leqq 508$

これに当てはまる整数 $x,y$ の組は 8 組。

・・・テ

その中で $x$ が最も小さいものは, $k=508$ として

$x=-13\cdot508+6606=2$

$y=11\cdot508-5505=83$

・・・トナニ

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第4問　問題文

$a=407$, $b=481$ とする。

(1) $a$ と $b$ の最大公約数は $\boxed{\text{アイ}}$ であり, 最小公倍数は $\boxed{\text{ウエオカ}}$ である。$\sqrt{abc}$ が整数となる正の整数 $c$ の中で, 最小のものは $\boxed{\text{キクケ}}$ である。

(2) $a$ と $b$ の最大公約数が $\boxed{\text{アイ}}$ であることに注意すると, 不定方程式

$ax=-by$

の整数解は, $x=\boxed{\text{コサシ}}k$, $y=\boxed{\text{スセ}}k$ ($n$は整数)である。

(3) 不定方程式

$ax+by=40700$

を満たす $0$ 以上の整数 $x,y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 組あり,その中で $x$ が最も小さいものは $x=\boxed{\text{タ}}$, $y=\boxed{\text{チ}}$ である。また

$ax+by=40700+\boxed{\text{アイ}}$

を満たす $0$ 以上の整数 $x,y$ の組は $\boxed{\text{テ}}$ 組あり,その中で $x$ が最も小さいものは $x=\boxed{\text{ト}}$, $y=\boxed{\text{ナニ}}$ である。