【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2016追試【解説・正解・問題】

第3問　解答・解説

ア イ 1 4　ウ エ 1 2　オ カ 3 4

キ ク 8 9　ケコ サシ 23 24

(1)

$A_1=\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$

・・・アイ

(2)

事象 $\overline{A_1}\cap A_2$ は，1回目が 4 以下かつ2回目との和が5以上である。

1回目が 1 のとき，2回目は 4 以上だから 3 通り。

1回目が 2 のとき，2回目は 3 以上だから 4 通り。

1回目が 3 のとき，2回目は 2 以上だから 5 通り。

1回目が 4 のとき，2回目は 1 以上だから 6 通り。

よって

$(3+4+5+6)\cdot\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2$

$=\cfrac{18}{36}=\cfrac{1}{2}$

・・・ウエ

また，$\overline{A}$ は $1-\cfrac{1}{3}=\cfrac{2}{3}$ だから，条件付き確率は

$\cfrac{\overline{A_1}\cap A_2}{\overline{A_1}}=\cfrac{\space\cfrac{1}{2}\space}{\cfrac{2}{3}}=\cfrac{\space\cfrac{1}{2}\times6\space}{\cfrac{2}{3}\times6}=\cfrac{3}{4}$

・・・オカ

(3)

求める条件付き確率は

$\cfrac{\overline{A_2}\cap A_3}{\overline{A_2}}$

となる。

$\overline{A_2}$ は，1回目と2回目の和が 4 以下のときだから

(1,1),(1,2),(1,3)

(2,1),(2,2),(3,1)

の 6 通り。よって

$6\cdot\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^2=\cfrac{1}{6}$

また，$\overline{A_2}\cap A_3$ は，1回目と2回目の和が 4 以下かつ3回目までの和が 5 以上である。

(1,1) のとき，3回目は 3 以上だから，4 通り。

(1,2),(2,1) のとき，3回目は 2 以上だから $2\times5=10$ 通り。

(1,3),(3,1),(2,2) のとき，3回目は 1 以上だから $3\times6=18$ 通り。

よって

$\overline{A_2}\cap A_3=(4+10+18)\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^3$

$=\cfrac{32}{6^3}=\cfrac{32}{216}=\cfrac{4}{27}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{4}{27}\space}{\cfrac{1}{6}}=\cfrac{\space\cfrac{4}{27}\times6\space}{\cfrac{1}{6}\times6}=\cfrac{24}{27}=\cfrac{8}{9}$

・・・キク

(4)

求める条件付き確率は

$\cfrac{\overline{A_3}\cap A_4}{\overline{A_3}}$

となる。

$\overline{A_3}$ は，1回目から3回目までの和が 4 以下だから

(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1) の 4 通り。

よって，$\overline{A_3}=4\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^3=\cfrac{4}{6^3}$

また，$\overline{A_3}\cap A_4$ は，1回目から3回目までの和が 4 以下で，4回目までの和が 5 以上である。

(1,1,1) のとき，4回目は 2 以上だから，5 通り。

(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1) のとき，4回目は 1 以上だから $3\times6=18$ 通り。

よって

$\overline{A_3}\cap A_4=(5+18)\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^4=\cfrac{23}{6^4}$

したがって，条件付き確率は

$\cfrac{\space\cfrac{23}{6^4}\space}{\cfrac{4}{6^3}}=\cfrac{\space\cfrac{23}{6^4}\times6^4\space}{\cfrac{4}{6^3}\times6^4}=\cfrac{23}{24}$

・・・ケコサシ

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第3問　問題文

1 個のさいころを投げる試行を 4 回繰り返す。以下では, 1 回目の試行におけるさいころの目が 5 以上である事象を $A_1$, 1 回目と 2 回目の試行における目の和が 5 以上である事象を $A_2$, 1 回目から 3 回目までの試行における目の和が 5 以上である事象を $A_3$, 1 回目から 4 回目までの試行における目の和が 5 以上である事象を $A_4$ と表す。

また,事象 $A, B$ の積事象を $A\cap B$, 事象 $A$ の余事象を $\overline{A}$ で表す。

(1) 事象 $A_1$ が起こる確率は, $\cfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。

(2) 事象 $\overline{A_1}\cap A_2$ が起こる確率は, $\cfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$ である。また, 事象 $\overline{A_1}$ が起こったときの事象 $A_2$ が起こる条件付き確率は, $\cfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

(3) 事象 $\overline{A_2}$が起こったときの事象 $A_3$ が起こる条件付き確率は, $\cfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。

(4) 事象 $\overline{A_3}$ が起こったときの事象 $A_4$ が起こる条件付き確率は, $\cfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$ である。