【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2016本試【解説・正解・問題】

第4問　解答・解説

アイ 15　ウエ －7　オカキ －47

クケ 22　コサシ 123

ス,セ,ソ 0, 3, 5 (解答の順序は問わない)

(1)

$92x+197y=1$

互除法を用いて

$197=92\cdot2+13$

$92=13\cdot7+1$

それぞれ移項して

$13=197-92\cdot2$

$1=92-13\cdot7$

式を代入すると

$1=92-(197-92\cdot2)\cdot7$

$=92-197\cdot7+92\cdot14$

$=92\cdot15+197\cdot(-7)$

よって

$92x+197y=1$

$92\cdot15+197\cdot(-7)=1$

式を引くと

$92(x-15)+197(y+7)=0$

$92(x-15)=-197(y+7)$

92 と 197 は互いに素だから，$x-15$ は $197$ の倍数である。$k$ を整数とすると

$x-15=197k$

$x=197k+15$

これを代入して

$92(197k+15-15)=-197(y+7)$

$92\cdot197k=-197(y+7)$

$92k=-y-7$

$y=-92k-7$

$x$ の絶対値が最小になるのは $k=0$ のときだから，これを代入して

$x=15$, $y=-7$

・・・アイウエ

次に，$92x+197y=10$ を満たす整数 $x,y$ を求める。上で求めた解の一つを 10 倍するとよい。

$92x+197y=10$

$92\cdot15\cdot10+197\cdot(-7\cdot10)=10$

上と同様にして

$92(x-150)+197(y+70)=0$

$92(x-150)=-197(y+70)$

$x-150=197k$

$x=197k+150$

$92(197k+150-150)=-197(y+70)$

$92\cdot197k=-197(y+70)$

$92k=-y-70$

$y=-92k-70$

$x$ の絶対値が最小になるのは $k=-1$ のときだから

$x=-47$, $y=22$

・・・オカキクケ

(2)

$11011_{(2)}$ を 10 進法で表すと

$1\cdot2^4+1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$

$=16+8+2+1=27$

これを 4 進法で表すと

$27=1\cdot4^2+2\cdot4^1+3\cdot4^0=123_{(4)}$

・・・コサシ

次に，⓪～⑤を考える。それぞれ 10 進法で表してみるとよい。

⓪ $0.3_{6}=\cfrac{3}{6^1}=0.5$

① $0.4_{(6)}=\cfrac{4}{6^1}=\cfrac{2}{3}=0.666\cdots$

② $0.33_{(6)}=\cfrac{3}{6^1}+\cfrac{3}{6^2}=\cfrac{7}{12}=0.583\cdots$

③ $0.43_{(6)}=\cfrac{4}{6^1}+\cfrac{3}{6^2}=\cfrac{3}{4}=0.75$

④ $0.033_{(6)}=\cfrac{3}{6^2}+\cfrac{3}{6^3}=\cfrac{7}{108}=0.0648\cdots$

⑤ $0.043_{(6)}=\cfrac{4}{6^2}+\cfrac{3}{6^3}=\cfrac{1}{8}=0.125$

したがって，10 進法で表すと有限小数として表せるのは，⓪，③，⑤

・・・スセソ

第4問　問題文

(1) 不定方程式

$92x+197y=1$

をみたす整数 $x, y$ の組の中で, $x$ の絶対値が最小のものは

$x=\boxed{\text{アイ}},\enspace y=\boxed{\text{ウエ}}$

である。不定方程式

$92x+197y=10$

をみたす整数 $x,y$ の組の中で, $x$ の絶対値が最小のものは

$x=\boxed{\text{オカキ}},\enspace y=\boxed{\text{クケ}}$

である。

(2) 2進法で $11011_{(2)}$ と表される数を4進法で表すと $\boxed{\text{コサシ}}_{(4)}$ である。

次の⓪~⑤の6進法の小数のうち, 10進法で表すと有限小数として表せるのは, $\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}},\boxed{\text{ソ}}$ である。ただし, 解答の順序は問わな
い。

⓪ $0.3_{(6)}$　① $0.4_{(6)}$

② $0.33_{(6)}$　③ $0.43_{(6)}$

④ $0.033_{(6)}$ ⑤ $0.043_{(6)}$