共テ・センター数学

【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2016本試【解説・正解・問題】

第1問 解答・解説

ア イ 3 1 ウ エ 2 1 オ カ - 2

キ ク 1 4 ケ コ 2 5 サ,シ 3,0

ス,セ 5,4 ソ 1 タ 3 チツテ -20

トナ, ニ -4, 0 ヌ 5

〔1〕

$f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x$

$=1+2a-(1+2a)x+(2-a)x$

$=(-3a+1)x+2a+1$

・・・アイ

ad

(1)

(i) $-3a+1\geqq0$ のとき

$-3a\geqq-1$

$a\leqq\cfrac{1}{3}$

このとき,$f(0)$ で最小となるので

$f(0)=2a+1$

(ii) $-3a+1\lt0$ のとき

$-3a\lt-1$

$a\gt\cfrac{1}{3}$

このとき,$f(1)$ で最小となるので

$f(1)=-3a+1+2a+1$

$=-a+2$

したがって,$0\leqq x\leqq1$ における $f(x)$ の最小値は

$a\leqq\cfrac{1}{3}$ のとき,$2a+1$

$a\gt\cfrac{1}{3}$ のとき,$-a+2$

・・・ウエオカ

ad

(2)

(i) $a\leqq\cfrac{1}{3}$ のとき

$f(0)\geqq\cfrac{2(a+2)}{3}$

$2a+1\geqq\cfrac{2(a+2)}{3}$

$6a+3\geqq2a+4$

$4a\geqq1$

$a\geqq\cfrac{1}{4}$

(ii) $a\gt\cfrac{1}{3}$ のとき

$f(1)\geqq\cfrac{2(a+3)}{3}$

$-a+2\geqq\cfrac{2(a+2)}{3}$

$-3a+6\geqq2a+4$

$-5a\geqq-2$

$a\leqq\cfrac{2}{5}$

したがって,$\cfrac{1}{4}\leqq a\leqq\cfrac{2}{5}$

・・・キクケコ

〔2〕

ad

(1)

(i)

$\{0\}$ は要素が1つだが,集合であることに注意して

$A\supset\{0\}$

・・・サ

(ii)

$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ だから無理数である。したがって

$\sqrt{28}\in B$

・・・シ

(iii)

$A=\{0\}\cup A$

$0$ は有理数だから,$0$ または有理数全体は有理数全体と等しい。

・・・ス

(iv)

$\varnothing=A\cap B$

有理数かつ無理数である数は存在しない。

・・・セ

(2)

$p\implies q$ を考えると,$x$ が無理数のとき,$x+\sqrt{28}$ は無理数である。よって,$p\implies q$ は偽。

$q\implies p$ を考えると,有理数+無理数は無理数であるが,無理数+無理数は有理数のときと無理数のときがある。したがって,$x+\sqrt{28}$ が有理数であるなら $x$ は無理数である。よって,$q\implies p$ は真。

したがって,$p$ は $q$ であるための必要条件であるが,十分条件でない

・・・ソ

次に,$p\implies r$ を考えると,無理数×無理数は有理数のときと無理数のときがある。よって,$p\implies r$ は偽。

$r\implies p$ を考えると,$x=0$ のとき $\sqrt{28}x=0$ であり,有理数になる。$0$ は有理数だから,$r\implies p$ は偽。

よって,必要条件でも十分条件でもない。

・・・タ

〔3〕

①を因数分解すると

$(x+20)(x-a^2)\leqq0$

$-20\leqq x \leqq a^2$

・・・チツテ

②を因数分解すると

$x(x+4a)\geqq0$

$x\leqq-4a,\enspace 0\leqq x$

・・・トナニ

上の図より,$-20\leqq-4a$ のとき,負の実数が存在する。式を変形すると

$a\leqq5$

$a$ は $1$ 以上の定数であることに注意して

$1\leqq a\leqq 5$

・・・ヌ

第1問と第2問は必答。第3問~第5問からいずれか2問を選択し,解答する。

第1問 問題文

〔1〕 $a$ を実数とする。$x$ の関数

$f(x)=(1 + 2a)(1 – x)+(2 – a)x$

を考える。

$f(x)=(-\boxed{\text{ア}}a +\boxed{\text{イ}})x+2a+1$

である。

(1) $0\leqq x\leqq1$ における $f(x)$ の最小値は,

$a\leqq\cfrac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ア}}}$ のとき,$\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}$ であり,

$a\gt\cfrac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ア}}}$ のとき、$\boxed{\text{オ}}a+\boxed{\text{カ}}$ である。

(2) $0\leqq x\leqq 1$ において, 常に $f(x)\geqq\cfrac{2(a+2)}{3}$ となる $a$ の値の範囲は,

$\cfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\leqq a\leqq\cfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$
である。

〔2〕 次の問いに答えよ。必要ならば, $\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてよい。

(1) $A$ を有理数全体の集合, $B$ を無理数全体の集合とする。空集合を $\varnothing$ と表す。

次の(i)~(iv)が真の命題になるように、$\boxed{\text{サ}}$~$\boxed{\text{セ}}$に当てはまるものを,下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。

(i) $A\boxed{\text{サ}}\{0\}$

(ii) $\sqrt{28}\boxed{\text{シ}}B$

(iii) $A=\{0\}\boxed{\text{ス}}A$

(iv) $\varnothing=A\boxed{\text{セ}}B$

⓪ $\in$ ① $\ni$ ② $\subset$

③ $\supset$ ④ $\cap$ ⑤ $\cup$

(2) 実数 $x$ に対する条件 $p,q,r$ を次のように定める。

$p:x$ は無理数

$q:x +\sqrt{28}$ は有理数

$y:\sqrt{28}x$ は有理数

次の$\boxed{\text{ソ}}$, $\boxed{\text{タ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。

$p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{ソ}}$。

$p$ は $r$ であるための $\boxed{\text{タ}}$。

⓪ 必要十分条件である

① 必要条件であるが,十分条件でない

② 十分条件であるが,必要条件でない

③ 必要条件でも十分条件でもない

〔3〕 $a$ を $1$ 以上の定数とし, $x$ についての連立不等式

$\begin{cases}x^2+(20-a^2)x-20a^2\leqq0\cdots\cdots\text{①}\\x^2+4ax\geqq0\cdots\cdots\text{②}\end{cases}$

を考える。このとき, 不等式①の解は$\boxed{\text{チツテ}}\leqq x\leqq a^2$ である。また, 不等式②の解は $x\leqq \boxed{\text{トナ}}a,\boxed{\text{ニ}}\leqq x$ である。

この連立不等式を満たす負の実数が存在するような $a$ の値の範囲は

$1\leqq a\leqq \boxed{\text{ヌ}}$

である。

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