【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2015追試【解説・正解・問題】

第5問　解答・解説

ア イ 2 3　ウ,エオ 2, 10

カ, キク 2, 14　ケ 5　コ 4

サ 3　シスセ 184

(1)

$n^2+n-6=(n-2)(n+3)$

・・・アイ

$p=13$ のとき，$n-2$ または $n+3$ が $13$ の倍数となる。$n-2$ が $13$ の倍数のとき，$k$ を整数とすると

$n-2=13k$

$n=13k+2$

$n$ を $13$ で割った余りは $2$

・・・ウ

また，$n+3$ が $13$ の倍数のとき

$n+3=13k$

$n=13k-3=13(k-1)+10$

$n$ を $13$ で割った余りは $10$

・・・エオ

$p=17$ のとき

次に，$n-2$ が $17$ の倍数のとき

$n-2=17k$

$n=17k+2$

$n$ を $17$ で割った余りは $2$

・・・カ

$n+3$ が $17$ の倍数のとき

$n+3=17k$

$n+3=17k-3=17(k-1)+14$

$n$ を $17$ で割った余りは $14$

・・・キク

$n-2$ と $n+3$ がともに $p$ の倍数であるとき，$k,\ell$ を整数とすると

$n-2=pk$，$n+3=p\ell$

式を変形して

$n=pk+2$，$n=p\ell+3$

よって

$pk+2=p\ell-3$

$p(\ell-k)=5$

恒等式が成り立つのは，$p=1$，$\ell-k=5$ または $p=5$，$\ell-k=1$ のときである。

$p$ は素数だから，$p\not=1$

したがって，$p=5$

・・・ケ

(2)

$13x-17y=1$ の解の一つを求めると

互除法より

$17=13\cdot1+4$

$13=4\cdot3+1$

それぞれ移項して

$4=17-13\cdot1$

$1=13-4\cdot3$

式を代入して

$1=13-(17-13\cdot1)\cdot3$

$1=13-17\cdot3+13\cdot3$

$13$ の項をまとめていくと

$1=13\cdot4-17\cdot3$

よって，解の一つは $(x,y)=(4,3)$ である。

$13x-17y=1$

$13\cdot4-17\cdot3=1$

式どうしを引くと

$13(x-4)-17(y-3)=0$

$13(x-4)=17(y-3)$

$13$ と $17$ は互いに素だから，$k$ を整数とすると

$x-4=17k$

$x=17k+4$

これを $13(x-4)=17(y-3)$ に代入して

$13(17k+4-4)=17(y-3)$

$13\cdot17k=17(y-3)$

$13k=y-3$

$y=13k+3$

よって，$x,y$ は整数 $k$ を用いて

$x=17k+4$

$y=13k+3$

と表せる。したがって，自然数 $x,y$ で $x$ が最小のものは，$k=0$ のとき，

$x=4$，$y=3$

・・・コサ

(3)

$13$ で割った余りが $2$，$17$ で割った余りが $14$ となる自然数 $n$ は，整数 $x,y$ を用いて

$n=13x+2$

$n=17y+14$

と表すことができる。式を連立すると

$13x+2=17y+14$

$13x-17y=12$

(2)より $13x-17y=1$ の解の一つは $(x,y)=(4,3)$ だから

$13\cdot4-17\cdot3=1$

両辺を $12$ 倍して

$13(4\cdot12)-17(3\cdot12)=12$

と表せる。(2) と同様の方法で，$k$ を整数として $x,y$ の式を求めると

$13x-17y=12$

$13(4\cdot12)-17(3\cdot12)=12$

$13(x-48)-17(x-36)=0$

$13(x-48)=17(x-36)$

$x-48=17k$

$x=17k+48$

これを $n=13x+2$ に代入すると

$n=13(17k+48)+2$

自然数 $n$ のうち，$n\leqq221$ に当てはまるものを求めるには，$k$ に実際に色々な数を代入するとよい。したがって

$k=-2$ のとき

$n=13(-34+48)+2=184$

・・・シスセ

第５問　問題文

(1)　$p$ を素数とし，$n$ を自然数とする。

$n^2+n-6=(n-\boxed{\text{ ア }})(n+\boxed{\text{ イ }})$

であるから，$n^2+n-6$ が $p$ の倍数になるのは，$n-\boxed{\text{ ア }}$ が $p$ の倍数の場合または $n+\boxed{\text{ イ }}$ が $p$ の倍数の場合である。$p=13$ のときは，$n$ を $p$ で割った余りが $\boxed{\text{ ウ }}$ または $\boxed{\text{ エオ }}$ の場合の 2 通りである。$p=17$ のときは，$n$ を $p$ で割った余りが $\boxed{\text{ カ }}$ または $\boxed{\text{ キク }}$ の場合の 2 通りである。

$n-\boxed{\text{ ア }}$ が $p$ の倍数のとき，$n+\boxed{\text{ イ }}$ も $p$ の倍数となるのは $p =\boxed{\text{ ケ }}$ の場合である。

(2)　不定方程式

$13x-17y=1$

の解となる自然数 $x$，$y$ で $x$ が最小のものは，$x=\boxed{\text{ コ }}$，$y=\boxed{\text{ サ }}$ である。

(3)　$221$ 以下の自然数 $n$ で，$13$ で割った余りが $\boxed{\text{ ウ }}$，$17$ で割った余りが $\boxed{\text{ キク }}$ となるものは，$n=\boxed{\text{ シスセ }}$ である。