【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2015追試【解説・正解・問題】

第2問　解答・解説

ア 2　イ 2　ウ エ 2 3　オカ キ 14 4

ク 2　ケ 1　コ 7 サ 4

シ ス セ 5 7 7

〔1〕

(1)

$p\implies r$ を考えると，$p$ は

$x\lt \sqrt{11},\enspace x\gt 2\sqrt{3}$

となり，これに当てはまる $x$ には整数以外も含まれるので，$p\implies r$ は偽。

$r\implies p$ を考えると

$\sqrt{9}\lt\sqrt{11}$ より $3\lt\sqrt{11}$

$2\sqrt{3}\lt2\sqrt{4}$ より $2\sqrt{3}\lt 4$

よって，全ての整数は $x\lt \sqrt{11}$ または $\enspace x\gt 2\sqrt{3}$ の範囲に含まれるので， $r\implies p$ は真。

したがって，$p$ は $r$ であるための必要条件であるが，十分条件ではない。

・・・ア

(2)

$\overline{p}$ は $\sqrt{11}\lt x\lt2\sqrt{3}$

$\overline{q}$ は $a\lt x\lt\cfrac{\sqrt{11}}{2}a$

$A\cap B$ が空集合になるのは，$A$ と $B$ が重ならないとき

$a\gt2\sqrt{3}$ または $\cfrac{\sqrt{11}}{2}a\lt\sqrt{11}$

である。$\cfrac{\sqrt{11}}{2}a\lt\sqrt{11}$ は変形して $a\lt2$ となる。

したがって，$A\cap B$ が空集合でないための必要十分条件は

$2\leqq a\leqq2\sqrt{3}$

・・・イウエ

〔2〕

公式 $\sin^2 x+\cos^2=1$ より

$\sin^2\angle\text{ABC}+\bigg(-\cfrac{\sqrt{2}}{4}\bigg)^2=1$

$\sin^2\angle\text{ABC}+\cfrac{1}{8}=1$

$\sin^2\angle\text{ABC}=\cfrac{7}{8}$

$\sin\angle\text{ABC}=\cfrac{\sqrt{14}}{4}$

・・・オカキ

正弦定理より

$2R=\cfrac{\text{CA}}{\sin\angle\text{ABC}}$

$\text{CA}=2R\sin\angle\text{ABC}$

$=\cfrac{4\sqrt{14}}{7}\cdot\cfrac{\sqrt{14}}{4}$

$=\cfrac{14}{7}=2$

・・・ク

また，AB = $x$ とおいて，余弦定理より

$2^2=x^2+(\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}x\bigg(-\cfrac{\sqrt{2}}{4}\bigg)$

$4=x^2+2+x$

$x^2+x-2=0$

$(x+2)(x-1)=0$

$x=1,-2$

$x\gt0$ より，AB = $1$

・・・ケ

次に，△ABC の面積を求めると $S=\cfrac{1}{2}bc\sin A$ を用いて

$S=\cfrac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{2}\sin\angle\text{ABC}$

$=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{14}}{4}$

$=\cfrac{\sqrt{7}}{4}$

・・・コサ

さらに，AD を求める。BD は直径だから，∠BAD = $90\degree$ となるので，三平方の定理より

$\text{AD}^2+\text{AB}^2=\text{BD}^2$

$\text{AD}^2+1=\bigg(\cfrac{4\sqrt{14}}{7}\bigg)^2$

$\text{AD}^2+1=\cfrac{32}{7}$

$\text{AD}^2=\cfrac{25}{7}$

$\text{AD}=\cfrac{5}{\sqrt{7}}=\cfrac{5\sqrt{7}}{7}$

・・・シスセ

第２問　問題文

〔1〕　$a$ を正の実数とし，実数 $x$ に関する条件 $p,q,r$ を次のように定める。

$p:(x-2\sqrt{3})(x-\sqrt{11}) > 0$

$q:x < a$ または $\displaystyle x > \frac{\sqrt{11}}{2}a$

$r:x$ は整数である。

(1)　次の $\boxed{\text{ ア }}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。

$p$ は $r$ であるための $\boxed{\text{ ア }}$。

⓪　必要十分条件である

①　十分条件であるが，必要条件ではない

②　必要条件であるが，十分条件ではない

③　必要条件でも十分条件でもない

(2)　条件 $p$ の否定を $\overline{p}$，$q$ の否定を $\overline{q}$ と表し

$A=\{x\space|\space x$ は $\overline{p}$ を満たす $\}$

$B=\{x\space|\space x$ は $\overline{q}$ を満たす $\}$

と定める。A$\cap$B が空集合でないための必要十分条件は

$\boxed{\text{ イ }} \leqq a \leqq \boxed{\text{ ウ }}\sqrt{\boxed{\text{ エ }}}$

が成り立つことである。

〔2〕　△ABC は半径 $\displaystyle\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円 O に内接し，BC$=2$，$\cos$⁡∠ABC$\displaystyle =-\frac{\sqrt{2}}{4}$ とする。このとき

$\sin$⁡∠ABC$\displaystyle=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ オカ }}}}{\boxed{\text{ キ }}}$，CA$=\boxed{\text{ ク }}$，AB$=\boxed{\text{ ケ }}$

であり，△ABC の面積は $\displaystyle\frac{\sqrt{\boxed{\text{ コ }}}}{\boxed{\text{ サ }}}$ である。

点 D を線分 BD が円 O の直径となるようにとる。このとき

AD=$\displaystyle\frac{\boxed{\text{ シ }}\sqrt{\boxed{\text{ ス }}}}{\boxed{\text{ セ }}}$

である。