共テ・センター数学

【センター過去問】数学IA2015追試【問題・解答・解説】

第1問 解答・解説

ア イ 5 4 ウ エ 3 4 オカ -3 キク -1

ケコ -1 サ 1 シス セソ -4 15

$G: y=-\cfrac{1}{4}x^2(x+a)^2+4(a+1)^2$

$=-\cfrac{1}{4}(x^2+2ax+a^2)+4a^2+8a+4$

$=-\cfrac{1}{4}(x^2+2ax+a^2-16a^2-32a-16)$

$=-\cfrac{1}{4}(x^2+2ax-15a^2-32a-16)$

$=-\cfrac{1}{4}\{x^2+2ax-(15a^2+32a+16)\}$

$=-\cfrac{1}{4}\{x^2+2ax-(3a+4)(5a+4)\}$

$=-\cfrac{1}{4}(x+5a+4)(x-3a-4)$

・・・アイウエ

ad

(1)

$f(x)=-\cfrac{1}{4}(x+5a+4)(x-3a-4)$ とおく。

問題に当てはまる条件を考えると

(i) グラフの軸が $-9$ と $11$ の間にある

(ii) 頂点が $x$ 軸より上にある

(iii) $x=9$ のとき,$y$ の値が負の数

(iv) $x=11$ のとき,$y$ の値が負の数

となる。

(i)

$-9\leqq -a \leqq 11$ だから

$-11\leqq a\leqq 9$

(ii)

$f(-a)=0$ のとき,グラフは $x$ 軸と 1 点で交わることになることに注意して

$f(-a)\gt0$

$-\cfrac{1}{4}(-a+5a+4)(-a-3a-4)\gt0$

$(4a+4)(-4a-4)\lt0$

$-16(a+1)(a+1)\lt0$

$(a+1)^2\gt0$

よって,$a\not =-1$

(iii)

$f(-9)\leqq0$

$-\cfrac{1}{4}(-9+5a+4)(-9-3a-4)\leqq0$

$(5a-5)(-3a-13)\geqq0$

$-5(a-1)(3a+13)\geqq0$

$(a-1)(3a+13)\leqq0$

$-\cfrac{13}{3}\leqq a\leqq 1$

(iv)

$f(11)\leqq0$

$-\cfrac{1}{4}(11+5a+4)(11-3a-4)\leqq0$

$(5a+15)(-3a+7)\geqq0$

$-5(a+3)(3a-7)\geqq0$

$(a+3)(3a-7)\leqq0$

$-3\leqq a\leqq\cfrac{7}{3}$

したがって

$-3\leqq a\lt1,\enspace-1\lt a\leqq 1$

・・・オカキクケコサ

ad

(2)

$y$ 軸との交点を求める。$x=0$ を代入して

$y=-\cfrac{1}{4}a^2+4(a+1)^2$

$=-\cfrac{1}{4}a^2+4a^2+8a+4$

$=\cfrac{15}{4}a^2+8a+4$

平方完成すると

$=\cfrac{15}{4}\bigg(a^2+\cfrac{32}{15}a\bigg)+4$

$=\cfrac{15}{4}\bigg(a+\cfrac{16}{15}\bigg)^2-\cfrac{64}{15}+4$

$=\cfrac{15}{4}\bigg(a+\cfrac{16}{15}\bigg)^2-\cfrac{4}{15}$

したがって,$y$ の最小値は $\cfrac{-4}{15}$

・・・シスセソ

第1問~第3問は必答。第4問~第6問は2問を選択し,解答する。

第1問 問題文

$a$ を実数とする。2 次関数 $\displaystyle y=-\frac{1}{4}x^2$ のグラフを,$x$ 軸方向に $-a$,$y$ 軸方向に $4(a+1)^2$ だけ平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ の方程式は

$\displaystyle y=-\frac{1}{4}(x+\boxed{\text{ ア }}\space a+\boxed{\text{ イ }})(x-\boxed{\text{ ウ }}\space a-\boxed{\text{ エ }})$

と表せる。

(1) $G$ が $-9\leqq x\leqq 11$ の範囲で,$x$ 軸と相異なる 2 点で交わるような $a$ の値の範囲は

$\boxed{\text{ オカ }}\leqq a < \boxed{\text{ キク }}$,$\boxed{\text{ ケコ }} < a \leqq \boxed{\text{ サ }}$

である。

(2) $a$ が実数全体を動くとき,$G$ と $y$ 軸の交点の $y$ 座標の最小値は

$\displaystyle\frac{\boxed{\text{ シス }}}{\boxed{\text{ セソ }}}$

である。

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