【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2015本試【解説・正解・問題】

第5問　解答・解説

ア イ ウ 2 3 7　エオ 24　カキ 21

クケコ 126　サ 9　シスセ 103

ソタチツ 1701

$a$ を素因数分解すると

$a=2^2\cdot3^3\cdot7$

・・・アイウ

約数の個数は，$2^0$~$2^2$ の 3 通り，$3^0$~$3^3$ の 4 通り，$7^0$~$7^1$ の 2 通りの組合せだから

$3\times4\times2=24$ 通り

・・・エオ

(2)

$\sqrt{am}=\sqrt{2^2\cdot3^3\cdot7m}$

したがって，$m=3\cdot7=21$ のとき $\sqrt{am}$ は最小の自然数となる。

・・・カキ

また，$m=21k^2$ とおくと

$\sqrt{am}=\sqrt{756\cdot21k^2}=\sqrt{2^2\cdot2^4\cdot7^2k^2}=126k$

・・・クケコ

(3)

$126k-11\ell=1$ が成り立つ，$k,\ell$ の解の 1 つを求めると，互除法を用いて

$126=11\times11+5$

$11=5\times2+1$

それぞれ移項して

$5=126-11\times11$

$1=11-5\times2$

これより

$1=11-(126-11\times11)\times2$

$1=11-126\times2+11\times22$

$1=126\times(-2)-11\times(-23)$

よって，$k,\ell$ の解の一つは $-2,-23$ である。

次に

$126k-11\ell=1$

$126\times(-2)-11\times(-23)=1$

において，式どうしを引くと

$126\times(k+2)-11(\ell+23)=0$

$126(k+2)=11(\ell+23)$

126 と 11 は互いに素であるから，$p$ を整数とすると

$k+2=11p$

これを解いて

$k=11p-2$

となる。

ここで，$k\gt0$ となる最小の $k$ は $p=1$ のとき

$k=11\cdot1-2=9$

・・・サ

また，$k=9$ のときの $\ell$ の値を求めると

$126\cdot9-11\ell=1$

$\ell=103$

・・・シスセ

(4)

$126k-11\ell=1$ より

$126k=11\ell+1$

(1) より，$m=21k^2$ のとき，$\sqrt{am}=126k$ となり，これは 11 で割ると 1 余る自然数である。$k=9$ とすると

$m=21\cdot9^2=1701$

・・・ソタチツ

第５問　問題文

以下では，$a=756$ とし，$m$ は自然数とする。

(1)　$a$ を素因数分解すると

$\displaystyle a=2^{\boxed{\text{ア}}}\cdot3^{\boxed{\text{イ}}}\cdot\boxed{\text{ウ}}$

である。

$a$ の正の約数の個数は $\boxed{\text{ エオ }}$ 個である。

(2)　$\sqrt{am}$ が自然数となる最小の自然数 $m$ は $\boxed{\text{ カキ }}$ である。$\sqrt{am}$ が自然数となるとき，$m$ はある自然数 $k$ により，$m=\boxed{\text{ カキ }}\space k^2$ と表される数であり，そのときの $\sqrt{am}$ の値は $\boxed{\text{ クケコ }}\space k$ である。

(3)　次に，自然数 $k$ により $\boxed{\text{ クケコ }}\space k$ と表される数で，11 で割った余りが 1 となる最小の $k$ を求める。 1 次不定方程式

$\boxed{\text{ クケコ }}\space k-11\ell=1$

を解くと，$k \gt 0$ となる整数解 $(k,\ell )$ のうち $k$ が最小のものは，$k=\boxed{\text{ サ }}$，$\ell=\boxed{\text{ シスセ }}$ である。

(4)　$\sqrt{am}$ が 11 で割ると 1 余る自然数となるとき，そのような自然数 $m$ のなかで最小のものは $\boxed{\text{ ソタチツ }}$ である。