【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2015本試【解説・正解・問題】

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第4問 解答・解説

アイ 48 ウエ 12 オ 2 カ 4

キ 4 クケ 12 コサ 16 シス 26

(1)

赤色,緑色,青色をそれぞれ R, G, B とおく。左端を R とすると 2 番目は G または B である。このとき 2 番目を G とすると 3 番目は B または R となる。よって,左端は R, G, B の 3 通りで,2 番目以降はそれぞれ 2 通りずつとなるので

$3\times2\times2\times2\times2=48$ 通り

・・・アイ

これには 2 色だけで塗り分ける場合も含まれる。

(2)

たとえば,RGBGR のように,左端から 3 つが決まると残りの 2 つも決まるので

$3\times2\times2=12$ 通り

・・・ウエ

(3)

BGBGB または GBGBG の $2$ 通り

・・・オ

(4)

たとえば,RGRBR のように R を塗る場所は 1 通りに定まる。残りの 2 番目と 4 番目は GG, GB, BG, BB の 4 通り。

・・・カ

(5)

R が 1枚で左端が R のとき,RGBGB または RBGBG の 2 通り。右端が R の場合も同様にして,$2+2=4$ 通り。

・・・キ

また,端以外の 1 枚が R のときを考えると

(i) 2 番目が R のとき

GRGBG, GRBGB, BRBGB, BRGBG の 4 通り

(ii) 3 番目が R のとき

GBRGB, GBRBG, BGRBG, BGRGB の 4 通り

(iii) 4 番目が R のとき,(i) と同様に 4 通り

したがって,$4+4+4=12$ 通り

・・・クケ

よって,赤色に塗られる正方形が 1 枚であるのは,$4+12=16$ 通り。

・・・コサ

(6)

R が 2 枚のとき,全事象から R が 0, 1, 3 枚のときを引けばよい。したがって

$48-2-16-4=26$ 通り

・・・シス

第4問 問題文

同じ大きさの 5 枚の正方形の板を一列に並べて,図のような掲示板を作り,壁に固定する。赤色,緑色,青色のペンキを用いて,隣り合う正方形どうしが異なる色となるように,この掲示板を塗り分ける。ただし,塗り分ける際には,3 色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく,2 色のペンキだけで塗り分けることがあってもよいものとする。

(1) このような塗り方は,全部で $\boxed{\text{ アイ }}$ 通りある。

(2) 塗り方が左右対称となるのは,$\boxed{\text{ ウエ }}$ 通りある。

(3) 青色と緑色の 2 色だけで塗り分けるのは,$\boxed{\text{ オ }}$ 通りある。

(4) 赤色に塗られる正方形が 3 枚であるのは,$\boxed{\text{ カ }}$ 通りある。

(5) 赤色に塗られる正方形が 1 枚である場合について考える。

・どちらかの端の 1 枚が赤色に塗られるのは,$\boxed{\text{ キ }}$ 通りある。

・端以外の 1 枚が赤色に塗られるのは,$\boxed{\text{ クケ }}$ 通りある。

よって,赤色に塗られる正方形が 1 枚であるのは,$\boxed{\text{ コサ }}$ 通りある。

(6) 赤色に塗られる正方形が 2 枚であるのは,$\boxed{\text{ シス }}$ 通りある。

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