【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2014追試【解説・正解・問題】

第４問

A，B，C の 3 人がいる。また，「A」と書かれた玉が $3$ 個，「B」と書かれた玉が $2$ 個，「C」と書かれた玉が $1$ 個ある。「A」と書かれた玉の持ち主は A で，「B」と書かれた玉の持ち主は B，「C」と書かれた玉の持ち主は C である。

(1)　全部の玉を一つの袋に入れておき，袋から $1$ 個の玉を取り出して，出た玉の持ち主を勝者とするゲームを考える。ゲームが 1 回終わるごとに，出た玉を袋に戻す。

(i)　ゲームを 4 回行うとき，勝者が順に A，A，B，C となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ア }}}{\boxed{\text{ イウ }}}$ である。

(ii) ゲームを 4 回行うとき，B が 2 回以上勝つ確率は $\cfrac{\boxed{\text{ エオ }}}{\boxed{\text{ カキ }}}$ である。

(iii) ゲームを 6 回行うとき，A が 3 回，B が 2 回，C が 1 回勝つ確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ク }}}{\boxed{\text{ ケコ }}}$ である。

(2)　こんどは，A，B，C のうち 2 人の対戦を考える。 2 人の対戦では，対戦者 2 人が持つ玉だけを全部合わせて一つの袋に入れ，袋から 1 個の玉を取り出して，出た玉の持ち主を勝者とする。1 回対戦が終わるごとに，すべての玉を持ち主に返す。
優勝賞金を 60 万円用意して， A と B，A と C，B と C が 1 回ずつ対戦する「総当り戦」を行い，勝った回数が最も多い人が優勝賞金を受け取る。該当者が複数いる場合は，該当者の間で等分する。

(i)　A，B，C が 20 万円ずつ受け取る確率は $\cfrac{\boxed{\text{ サ }}}{\boxed{\text{ シ }}}$ である。

(ii)　A が 20 万円以上受けとる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ スセ }}}{\boxed{\text{ ソタ }}}$ である。

(iii)　A が受けとる優勝賞金の期待値は $\boxed{\text{ チツ }}$ 万円，B が受けとる優勝賞金の期待値は $\boxed{\text{ テト }}$ 万円，C が受けとる優勝賞金の期待値は $\boxed{\text{ ナ }}$ 万円である。

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解答・解説

ア,イウ 1,72　エオ,カキ 11,27

ク,ケコ 5,36　サ,シ 1,5

スセ,ソタ 13,20

チツ 31　テト 20

ナ 9

(1)

(i) 勝者が順に A，A，B，C となる確率は

$\cfrac{3}{6}\times\cfrac{3}{6}\times\cfrac{1}{6}=\cfrac{1}{72}$

(ii)

ここでは余事象を用いて，全事象から B が 1 回も勝たない場合と 1 回勝つ場合を引けばよい。この場合，反復試行の確率を用いる。

B が 1 回も勝たない確率は

$\bigg(\cfrac{4}{6}\bigg)^4=\cfrac{16}{81}$

B が 1 回勝つ確率は

$_4C_1\bigg(\cfrac{2}{6}\bigg)^1\bigg(\cfrac{4}{6}\bigg)^3=\cfrac{32}{81}$

これを全事象から引いて

$1-\bigg(\cfrac{16}{81}+\cfrac{32}{81}\bigg)=\cfrac{11}{27}$

(iii)

(ii)と同様に反復試行の計算を行うが，単純に $C$ を用いることはできない。ここでたとえば 1,2,3,4,5,6 の 6 つの数字を並べて 152643 のような 6 桁の数を作る場合，組合せは $6!$ となることは容易に分かるだろう。それと同様に $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,C$ の 6 つの文字を並べかえるなら，その組み合わせはやはり $6!$ となるはずである。このとき，それぞれの文字を区別しないならば重複するものを割ればよい。$A$ を区別しないならば $3!$，$B$ を区別しないならば $2!$ で割ればよい。これを用いて確率を求めると

$\cfrac{6!}{3!2!}\bigg(\cfrac{3}{6}\bigg)^3\bigg(\cfrac{2}{6}\bigg)^2\bigg(\cfrac{1}{6}\bigg)^1=\cfrac{5}{36}$

(2)

(i)

A，B，C が 20 万円ずつ受けとるとき，A，B，C はそれぞれ 1 回ずつ勝つことになる。以下，A と B が対戦して A が勝つ場合を A・B → A として表す。

A・B → A かつ A・C → C かつ B・C → C

$\cfrac{3}{5}\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{2}{3}=\cfrac{1}{10}$

A・B → B かつ A・C → A かつ B・C → C

$\cfrac{2}{5}\times\cfrac{3}{4}\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{10}$

したがって確率は

$\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{10}=\cfrac{1}{5}$

(ii)

A が 20 万円以上受け取るのは 20 万円受け取る場合と 60 万円受け取る場合である。A が 20 万円受け取る場合は (i) で求めた。また A が 60 万円受けとるのは A が 2 回勝つ場合である。

A が 60 万円受け取る場合

A・B → A かつ A・C → A かつ B・C → B または C

$\cfrac{3}{5}\times\cfrac{3}{4}\times1=\cfrac{9}{20}$

したがって確率は $\cfrac{9}{20}+\cfrac{1}{5}=\cfrac{13}{20}$

(iii)

A が受け取る優勝賞金は 20 万円か 60 万円である。したがって，期待値は

$20\times\cfrac{1}{5}+60\times\cfrac{9}{20}=31$

次に B が受け取る優勝賞金の期待値を求める。A と同様に B が受け取る優勝賞金は 20 万円か 60 万円である。B が優勝賞金を 20 万円受け取る確率はすでに求めた。B が優勝賞金を 60 万円受け取る確率は B が 2 回勝つ場合だから

A・B → B，A・C → A または C，B・C → B

$\cfrac{2}{5}\times1\times\cfrac{2}{3}=\cfrac{4}{15}$

したがって期待値は

$20\times\cfrac{1}{5}+60\times\cfrac{4}{15}=20$

さらに C が受け取る優勝賞金の期待値を求めると，B の場合と同様に

A・B → A または B，A・C → C，B・C → C

$1\times\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{1}{12}$

したがって期待値は

$20\times\cfrac{1}{5}+60\times\cfrac{1}{12}=9$