共テ・センター数学

【センター過去問】数学IA2014追試【問題・解答・解説】

第1問

〔1〕 定数 $a$,$b$,$c$ は $a+b+c=1$,$ab+bc+ca=-2$,$abc=-1$ を満たすとする。

(1) $a^2+b^2+c^2=\boxed{\text{ ア }}$,$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{c}=\boxed{\text{ イ }}$ である。

次に,$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{c}=\boxed{\text{ イ }}$ の両辺を 2 乗することで

$\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+\cfrac{1}{c^2}=\boxed{\text{ ウ }}$
であることがわかる。

(2) $x$ の 2 次式 $A$ を

$A=\bigg(ax-\cfrac{1}{a}\bigg)^2+\bigg(bx-\cfrac{1}{b}\bigg)^2+\bigg(cx-\cfrac{1}{c}\bigg)^2$

とおく。

$A=\boxed{\text{ エ }}x^2-\boxed{\text{ オ }}x+\boxed{\text{ カ }}$

であり,$A=7$ を満たす $x$ の値は $\cfrac{\boxed{\text{ キ }}\pm\sqrt{\boxed{\text{ クケ }}}}{\boxed{\text{ コ }}}$ である。

〔2〕 実数 $a$,$b$ に関する条件 $p$,$q$ を次のように定める。

$p:|a+b|=|a|+b$

$q:ab^2≧0$

(1) 次の ⓪~④ のうち, $q$ の否定 $\overline{q}$ と同値である条件は $\boxed{\text{ サ }}$ である。
$\boxed{\text{ サ }}$ に当てはまるものを,次の⓪~④ のうちから一つ選べ。

⓪ $a < 0$ ① $a < 0$ かつ $b < 0$

② $a < 0$ または $b < 0$ ③ $a < 0$ かつ $b\not =0$

④ $a < 0$ または $b\not =0$

(2) 下の$\boxed{\text{ シ }}$,$\boxed{\text{ ス }}$,$\boxed{\text{ セ }}$に当てはまるものを,次の⓪~④のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

⓪ $\gt$ ① $\geqq$ ② $=$

③ $\leqq$ ④ $\lt$

(i) $p$ を満たす $a$,$b$ について,$a+b \geqq 0$ ならば $a\boxed{\text{ シ }}\space 0$ である。

(ii) $p$ を満たす $a$,$b$ について,$a \geqq 0$ ならば $a+b\boxed{\text{ ス }}\space 0$ である。

(iii) $a+b < 0$ を満たす $a$,$b$ について, $b\boxed{\text{ セ }}\space 0$ であることと $p$ を満たすことは同値である。

(3) $p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{ ソ }}$。
$\boxed{\text{ ソ }}$ に当てはまるものを,次の⓪~③のうちから一つずつ選べ。

⓪ 必要十分条件である

① 十分条件であるが,必要条件ではない

② 必要条件であるが,十分条件ではない

③ 必要条件でも十分条件でもない

ad

解答・解説

ア 5 イ 2 ウ 6

エ,オ,カ 5,6,6

キ,クケ,コ 3,14,5

サ 3 シ 1 ス 1

セ 2 ソ 1

〔1〕

(1)

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ だから

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

$=1^2-2(-2)$

$=5$

また

$\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{c}=\cfrac{ab+bc+ca}{abc}$

$=\cfrac{-2}{-1}=2$

次に

$\bigg(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{c}\bigg)^2=\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+\cfrac{1}{c^2}+\cfrac{2}{ab}+\cfrac{2}{bc}+\cfrac{2}{ca}$

よって

$\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+\cfrac{1}{c^2}=\bigg(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{c}\bigg)^2-2\bigg(\cfrac{1}{ab}+\cfrac{1}{bc}+\cfrac{1}{ca}\bigg)$

$=2^2-2\bigg\{\cfrac{a^2bc+ab^2c+abc^2}{(abc)^2}\bigg\}$

$=4-\cfrac{2abc(a+b+c)}{(abc)^2}$

$=4-\cfrac{2(a+b+c)}{abc}$

$=4-\cfrac{2\cdot1}{-1}=6$

(2)

$A=\bigg(ax-\cfrac{1}{a}\bigg)^2+\bigg(bx-\cfrac{1}{b}\bigg)^2+\bigg(cx-\cfrac{1}{c}\bigg)^2$

$=a^2x^2-2x+\cfrac{1}{a^2}+b^2x^2-2x+\cfrac{1}{b^2}+c^2x^2-2x+\cfrac{1}{c^2}$

$=(a^2+b^2+c^2)x^2-6x+\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}+\cfrac{1}{c^2}$

$=5x^2-6x+6$

次に $A=7$ より

$5x^2-6x+6=7$

$5x^2-6x-1=0$

$x=\cfrac{3\pm\sqrt{9+5}}{5}$

$=\cfrac{3\pm\sqrt{14}}{5}$

〔2〕

(1)

$q:ab^2\geqq0$ より $\overline{q}:ab^2\lt0$

このとき $b^2$ はつねに $0$ 以上の値となるが,$b$ が $0$ のときに不等式が成立しないことに注意する。よって,$b\not=0$

また,$b^2$ が $0$ 以上であることから,$a$ は 負の値をとる必要がある。したがって

$\overline{q}:a\lt0$ かつ $b\not=0$

(2)

(i) $a+b\geqq0$ のとき

$|a+b|$ の絶対値の記号はそのまま外してよい。

$p:a+b=|a|+b$

$a=|a|$

これは $a\geqq0$ のときに成り立つ。

(ii) $a\geqq0$ のとき

$|a|$ の絶対値の記号はそのまま外してよい。

$p:|a+b|=a+b$

これは $a+b\geqq0$ のときに成り立つ。

(iii)

$a+b\lt0$ のとき

$|a+b|$ は符号を逆にして絶対値の記号を外す。

$p:-a-b=|a|+b$

$2b=-a-|a|$

$b=-\cfrac{a+|a|}{2}$

式に $|a|$ があるので,場合分けをして考えるとよい。

$a\geqq0$ のとき

$b=-\cfrac{2a}{2}=-a$

これを $a+b\lt0$ に代入すると $a-a\lt0$ となり,不等式が成り立たない。よって不適。

$a\lt0$ のとき

$b=-\cfrac{a-a}{2}=0$

これを $a+b\lt0$ に代入すると $a\lt0$ となり,適する。

したがって,$a+b\lt0$ のとき $a\lt0$,$b=0$ である。

(3)

$p\implies q$ を考える。上で $\overline{q}$ を求めたので,これを利用して $p\implies\overline{q}$ を考えた方が判断しやすい。

たとえば,(2)の(i)のとき $p\implies\overline{q}$ は偽である。よって,$p\implies q$ は真である。このような考え方を背理法という。

また $q\implies p$ を考えると,$a\geqq0$,$b\lt0$ のとき(2)の(ii)は成り立たない場合がある。よって,$q\implies p$ は偽。

したがって,$p$ は $q$ であるための十分条件であるが,必要条件ではない。

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