共テ・センター数学

【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2014本試【解説・正解・問題】

第4問

下の図は,ある町の街路図の一部である。

ある人が,交差点 A から出発し,次の規則に従って,交差点から隣の交差点への移動を繰り返す。

① 街路上のみを移動する。

② 出発前にサイコロを投げ,出た目に応じて右図の 1 〜 6 の矢印の方向の隣の交差点に移動する。

③ 交差点に達したら,再びサイコロを投げ,出た目に応じて図の 1 〜 6 の矢印の方向の隣の交差点に移動する。(一度通った道を引き返すこともできる。)

④ 交差点に達するたびに, ③ と同じことを繰り返す。

(1) 交差点 A を出発し, 4 回移動して交差点 B にいる移動の仕方について考える。この場合,3 の矢印の方向の移動と 4 の矢印の方向の移動をそれぞれ 2 回ずつ行うので,このような移動の仕方は$\boxed{\text{ ア }}$ 通りである。

(2) 交差点 A を出発し,3 回移動して交差点 C にいる移動の仕方は $\boxed{\text{ イ }}$ 通りある。

(3) 交差点 A を出発し,6 回移動することを考える。このとき,交差点 A を出発し,3 回の移動が終わった時点で交差点 C にいて,次に 3 回移動して交差点 D にいる移動の仕方は $\boxed{\text{ ウエ }}$ 通りあり,その確率は $\cfrac{\boxed{\text{ オ }}}{\boxed{\text{ カキクケ }}}$ である。

(4) 交差点 A を出発し,6 回移動して交差点 D にいる移動の仕方について考える。

・1 の矢印の向きの移動を含むものは $\boxed{\text{ コ }}$ 通りある。

・2 の矢印の向きの移動を含むものは $\boxed{\text{ サシ }}$ 通りある。

・6 の矢印の向きの移動を含むものも $\boxed{\text{ サシ }}$ 通りある。

・上記 3 つ以外の場合,4 の矢印の向きの移動は $\boxed{\text{ ス }}$ 回だけに決まるので,移動の仕方は $\boxed{\text{ セソ }}$ 通りある。

よって,交差点 A を出発し,6 回移動して交差点 D にいる移動の仕方は $\boxed{\text{ タチツ }}$ 通りある。

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解答・解説

ア $6$

イ $6$

ウエ $36$

オ,カキクケ $1,1296$

コ $6$

サシ $30$

ス $2$

セソ $90$

タチツ $156$

(1)

4 つの矢印の並べ方は $4!$ 通りあるが,同じ矢印がそれぞれ 2 つずつあるので,$2!$ で割るとよい。

$\cfrac{4!}{2!\cdot2!}=\cfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{2\cdot2}=6$ 通り

(2)

3,4,5 の矢印を 1 回ずつ使うので

$3!=6$ 通り

(3)

(2)より C までの移動の仕方は $6$ 通り

C から D までの移動の仕方も(2)と同様だから $6$ 通り

したがって,$6\times6=36$ 通り

またその確率を求めると,サイコロを 6 回投げるときの全事象は $6^6$ であることに注意して

$\cfrac{36}{6^6}=\cfrac{1}{6^4}=\cfrac{1}{1296}$

(4)

(i) 1 の矢印を含む場合

1 の矢印を 1 回,4 の矢印を 5 回使うので

$\cfrac{6!}{1!\cdot5!}=6$ 通り

(ii) 2 の矢印を含む場合

2 の矢印を 1 回,4 の矢印を 4 回,5 の矢印を 1 回使うので

$\cfrac{6!}{1!\cdot4!\cdot1!}=30$ 通り

(iii) 6 の矢印を含む場合

$30$ 通り

(iv) 上記 3 つ以外の場合,3 の矢印を 2 回,4 の矢印を 2 回,5 の矢印を 2 回使うので,4 の矢印の向きの移動は 2 回だけに決まる。よって

$\cfrac{6!}{2!\cdot2!\cdot2!}=90$ 通り

したがって,6 回移動して交差点 D にいる移動の仕方は

$6+30+30+90=156$ 通り

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