【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2013追試【解説・正解・問題】

第４問

袋の中に青玉 4 個，黄玉 2 個，黒玉 1 個，白玉 1 個，緑玉 1 個の合計 9 個の玉がはいっている。青玉には 1 から 4 までの数字が一つずつ，黄玉には数字の 1 と 2 が一つずつ，黒玉と白玉，緑玉のそれぞれには数字の 1 が書かれている（下図参照）。ただし，例えば 青1 は，数字の 1 が書かれた青玉を表す。

青1　黄1　黒1　白1　緑1

青2　黄2

青3

青4

この袋から同時に 4 個の玉を取り出す。このとき， 4 個の玉の取り出し方は $\boxed{\text{ アイウ }}$ 通りある。取り出した 4 個の玉の数字がすべて異なる取り出し方は $\boxed{\text{ エオ }}$ 通りで，取り出した 4 個の玉の色がすべて異なる取り出し方は $\boxed{\text{ カキ }}$ 通りである。また，取り出した 4 個の玉の中に，青玉が一つだけある取り出し方は $\boxed{\text{ クケ }}$ 通りである。

次のように得点を定める。

・取り出した 4 個の玉の中に青玉が 1 個だけある場合，
この青玉に書かれた数字を $m$ とする。取り出した 4 個の玉の中に，数字 $m$ の書かれた玉が，この青玉を含めて $k$ 個あるとき，得点を $m$ の $k$ 倍の $km$ 点とする。
・取り出した 4 個の玉の中に青玉がない場合，または青玉が 2 個以上ある場合，得点を 0 点とする。

例えば，取り出された 4 個の玉が，青3　黄2　黒1　白1 のとき，得点は 3 点であり，青2　黄2　白1　緑1 のときは，得点は 4 点である。また，青1　青3　黒1　緑1 のときは，得点は 0 点である。

(1)　得点が 2 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サシ }}}$ で，得点が 3 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ス }}}{\boxed{\text{ セソ }}}$ である。また，得点が 4 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ タチ }}}{\boxed{\text{ ツテ }}}$ である。

(2)　得点の期待値は $\cfrac{\boxed{\text{ トナ }}}{\boxed{\text{ ニヌ }}}$ 点である。

解答・解説

アイウ $126$　エオ $10$　カキ $30$　クケ $40$

コ $2$　サシ $63$　ス $8$　セソ $63$

タチ $10$　ツテ $63$　トナ $68$　ニヌ $63$

同時に 4 個取り出す方法は

$_9C_4=\cfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126$ 通り

数字がすべて異なる取り出し方を考えると，数字が 1 の玉は 5 通り，2 の玉は 2 通り，3 の玉は 1 通り，4 の玉は 1 通りだから

$5\times2\times1\times1=10$ 通り

玉の色がすべて異なる取り出し方を考えると，1 つの色を取らないことになるので

青を取らない場合，黄が 2 通り，その他の色は 1 通りずつだから

$2\times1\times1\times1=2$ 通り

黄を取らない場合，青が 4 通り，その他の色は 1 通りずつだから

$4\times1\times1\times1=4$ 通り

黒か白か緑を取らない場合，青が 4 通り，黄色が 2 通り，その他の色は残り 3 個から 2 個を取り出すので

$4\times2\times_3C_2=24$ 通り

したがって

$2+4+24=30$ 通り

青玉が 1 つだけある取り出し方を考えると，青が 4 通り，青以外の残り 5 個から 3 個を取り出すので

$4\times_5C_3=4\times\cfrac{5\cdot4}{2\cdot1}=40$ 通り

(1)

(i) 得点が 2 点のとき

青2 と 青以外で数字が 1 の玉を 3 つ取る

$1\times_4C_3=4$ 通り

$\cfrac{4}{126}=\cfrac{2}{63}$

(ii) 得点が 3 点のとき

青1，黄2 と それ以外の色から 2 つ取る場合

$1\times1\times_3C_2=3$ 通り

青1，黄1，黄2 とそれ以外の色から 1 つ取る場合

$1\times1\times1\times_3C_1=3$ 通り

青3 と それ以外の色から 3 つ取る場合

$1\times_5C_3=10$ 通り

よって $\cfrac{3+3+10}{126}=\cfrac{8}{63}$

(iii) 得点が 4 点のとき

青1 と それ以外の色で数字が 1 の玉を 3 つ取る場合

$1\times_4C_3=4$ 通り

青2，黄2 と 黄1，黒1，白1，緑1 の 4 つから 2 つ取る場合

$1\times1\times_4C_2=\cfrac{4\cdot3}{2}=6$ 通り

青4 と それ以外の色から 3 つ取る

$1\times_5C_3=10$ 通り

したがって $\cfrac{4+6+10}{126}=\cfrac{10}{63}$

(2)

$2\times\cfrac{2}{63}+3\times\cfrac{8}{63}+4\times\cfrac{10}{63}$

$=\cfrac{4+24+40}{63}=\cfrac{68}{63}$