共テ・センター数学

【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2013追試【解説・正解・問題】

第1問

〔1〕 $a,b,c$ を定数とし,$x$ についての整式 $P,Q$ を

$P=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)$

$Q=ax^3+bx^2+cx$

とする。$P-Q$ を $x$ について整理すると

$P-Q=\textbf{\boxed{\text{ ア }}}ax^2+(\boxed{\text{ イ }}a+\boxed{\text{ ウ }}b)x+(a+b+c)$

となる。

$\boxed{\text{ ア }}a=1$,$\boxed{\text{ イ }}a+\boxed{\text{ ウ }}b=0$,$a+b+c=0$

となる $a,b,c$ は

$a=\cfrac{1}{\boxed{\text{ ア }}}, b= \cfrac{\boxed{\text{ エオ }}}{\boxed{\text{ カ }}}, c=\cfrac{\boxed{\text{ キ }}}{\boxed{\text{ ク }}}$

である。このとき

$P-Q=x^2,P^2-Q^2=\cfrac{\boxed{\text{ ケ }}}{\boxed{\text{ コ }}}x^5+\cfrac{\boxed{\text{ サ }}}{\boxed{\text{ シ }}}x^3$

である。

〔2〕 △ABCについて次の条件 $p,q,r,s$ を考える。ただし∠A,∠B,∠Cの大きさをそれぞれ $A$,$B$,$C$ で表すものとする。

$p:A < 90\degree$ $q:B > 45\degree$ または $C > 45\degree$

$r:A < 90\degree$ かつ $B < 90\degree$ $s:\cos A \cos B > 0$

(1) 命題「$p\Longrightarrow q$」の対偶は「$\boxed{\text{ ス }} \Longrightarrow \boxed{\text{ セ }}$」である。
$\boxed{\text{ ス }}$ と $\boxed{\text{ セ }}$ に当てはまるものを,次の⓪~⑦のうちから一つずつ選べ。

⓪ $A\geqq 90\degree$ ① $A > 90\degree$

② $A\leqq 90\degree$ ③ $A < 90\degree$

④ $B < 45\degree$ または $C < 45\degree$ ⑤ $B\leqq 45\degree$ かつ $C \leqq 45\degree$ ⑥ $B \leqq 45\degree$ または $C \leqq 45\degree$ ⑦ $B > 45\degree$ かつ $C > 45\degree$

(2) 次の$\boxed{\text{ ソ }}$ と $\boxed{\text{ タ }}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

$p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{ ソ }}$。

$r$ は $s$ であるための $\boxed{\text{ タ }}$。

⓪ 必要十分条件である

① 必要条件であるが,十分条件ではない

② 十分条件であるが,必要条件ではない

③ 必要条件でも十分条件でもない

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解答・解説

ア $3$ イ $3$ ウ $2$

エオ $-1$ カ $2$ キ $1$ ク $6$

ケ $2$ コ $3$ サ $1$ シ $3$

ス $5$ セ $0$ ソ $2$ タ $0$

〔1〕

$P=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)$

$=ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx+c$

$=ax^3+(3a+b)x^2+(3a+2b+c)x+a+b+c$

$P-Q=3ax^2+3ax+a+2bx+b+c$

$=3ax^2+(3a+2b)x+(a+b+c)$

また,$a$ を求めると

$3a=1$

$a=\cfrac{1}{3}$

$b$ を求めると

$3a+2b=0$

$3\cfrac{1}{3}+2b=0$

$b=-\cfrac{1}{2}$

$c$ を求めると

$a+b+c=0$

$\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{2}+c=0$

$c=\cfrac{1}{6}$

$a,b,c$ を代入して

$P=\cfrac{1}{3}x^3+\bigg(1-\cfrac{1}{2}\bigg)x^2+\bigg(0+\cfrac{1}{6}\bigg)x+0$

$=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{1}{2}x^2+\cfrac{1}{6}x$

$Q=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{1}{2}x^2+\cfrac{1}{6}x$

$P+Q=\cfrac{2}{3}x^3+\cfrac{1}{3}x$

$P^2-Q^2=(P+Q)(P-Q)$

$=\bigg(\cfrac{2}{3}x^3+\cfrac{1}{3}x\bigg)x^2$

$=\cfrac{2}{3}x^5+\cfrac{1}{3}x^3$

〔2〕

(1)

命題 $p\implies q$ の対偶は $\overline{q}\implies\overline{p}$ である。したがって

$\overline{q}$ : B $\leqq45\degree$ かつ C $\leqq45\degree$

$\overline{p}$ : A $\geqq90\degree$

(2)

三角形の内角を考えていくので,それぞれの角は $0 < x < 180\degree$ であることに注意する。

命題 $p\implies q$ とその対偶 $\overline{q}\implies\overline{p}$ の真偽は一致することを用いて

$\overline{q}$ より B+C $\leqq90\degree$ だから A $\geqq90\degree$ になる。よって,$p\implies q$ は真。

また $q\implies p$ を考えると,たとえば B = $60\degree$,C = $20\degree$ のとき A = $100\degree$ となるので,$q\implies p$ は偽。

したがって,$p$ は $q$ であるための十分条件であるが,必要条件ではない。

次に $r\implies s$ を考えると

A < $90\degree$ のとき $0 < \cos A < 1$

B < $90\degree$ のとき $0 < \cos B < 1$

だから $0 < \cos A\cos B < 1$ よって,$r\implies s$ は真。 さらに $s\implies r$ を考えると,$\cos A\cos B > 0$ となるのは $\cos A$ と $\cos B$ がともに正の値のときである。このとき A < $90\degree$ かつ B < $90\degree$ である。また $\cos A$ と $\cos B$ がともに負の値のときも $\cos A\cos B > 0$ となるが,このとき $A > 90\degree$ かつ $B > 90\degree$ となるので,このような三角形は存在しない。

したがって,$r$ は $s$ であるための必要十分条件である。

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