【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2013本試【解説・正解・問題】

第４問

(1)　$1$ から $4$ までの数字を，重複を許して並べてできる 4 桁の自然数は，全部で $\boxed{\text{ アイウ }}$ 個ある。

(2)　(1)の $\boxed{\text{ アイウ }}$ 個の自然数のうちで，$1$ から $4$ までの数字を重複なく使ってできるものは $\boxed{\text{ エオ }}$ 個ある。

(3)　(1)の $\boxed{\text{ アイウ }}$ 個の自然数のうちで，$1331$ のように，異なる二つの数字を 2 回ずつ使ってできるものの個数を，次の考え方に従って求めよう。

(i)　$1$ から $4$ までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は $\boxed{\text{ カ }}$ 通りある。

(ii)　(i)で選んだ数字のうち小さい方を，一・十・百・千の位のうち，どの 2 箇所に置くか決める。置く 2 箇所の決め方は $\boxed{\text{ キ }}$ 通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると，大きい方の数字を置く場所は残りの 2 箇所に決まる。

(iii)　(i)と(ii)より，求める個数は $\boxed{\text{ クケ }}$ 個である。

(4)　(1)の $\boxed{\text{ アイウ }}$ 個の自然数を，それぞれ別のカードに書く。できた $\boxed{\text{ アイウ }}$ 枚のカードから 1 枚引き，それに書かれた数の四つの数字に応じて，得点を次のように定める。

・四つとも同じ数字のとき　9 点

・2 回現れる数字が二つあるとき　3 点

・3 回現れる数字が一つと，1 回だけ現れる数字が一つあるとき　2 点

・2 回現れる数字が一つと，1 回だけ現れる数字が二つあるとき　1 点

・数字の重複がないとき　0 点

(i) 得点が $9$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サシ }}}$，得点が $3$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ス }}}{\boxed{\text{ セソ }}}$ である。

(ii) 得点が $2$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ タ }}}{\boxed{\text{ チツ }}}$，得点が $1$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ テ }}}{\boxed{\text{ トナ }}}$ である。

(iii) 得点の期待値は $\cfrac{\boxed{\text{ ニ }}}{\boxed{\text{ ヌ }}}$ 点である。

解答・解説

アイウ $256$　エオ $24$

カ $6$　キ $6$　クケ $36$

コ,サシ $1,64$　ス,セソ $9,64$

タ,チツ $3,16$

テ,トナ $9,16$

ニ,ヌ $3,2$

(1) 重複を許す場合 $4^4=256$ 個

(2) 重複なく選ぶ場合 $4!=24$ 個

(3)

(i) 4 つの数字から 2 つを選ぶので，$_4C_2=\cfrac{4\cdot3}{2}=6$ 通り

(ii) 4 箇所から 2 箇所を選ぶので，$_4C_2=6$ 通り

(iii) $6\times6=36$ 個

(4)

(i)

9 点のとき

4 つとも同じ数字だから 1111 ～ 4444 の 4 個。

$\cfrac{4}{256}=\cfrac{1}{64}$

3 点のとき

(3)より $36$ 個。

$\cfrac{36}{256}=\cfrac{9}{64}$

(ii)

2 点のとき

例えば 1112 のような場合であり，3 回現れる数字の選び方は 4 通りで，1 回だけ現れる数字は残りの 3 つの数字から選ぶので，$4\times3=12$ 通り。

また，1 回だけ現れる数字を置く場所が決まれば残りの 3 箇所も決まる。1 回だけ現れる数字を置く場所は $4$ 通りだから

$12\times4=48$ 個

$\cfrac{48}{256}=\cfrac{3}{16}$

1 点のとき

例えば 1123 のような場合であり，2 回現れる数字は $4$ 通りで，1 回だけ現れる数字は残り 3 つの数字から 2 つ選ぶので $4\times_3C_2=12$ 通り。

また，4 つの数字を並べる方法は $4!$ 通りあるが，2 回現れる数字が重複するので

$\cfrac{4!}{2!}=12$ 通り

$12\times12=144$ 個

$\cfrac{144}{256}=\cfrac{9}{16}$

【別解】

1点のとき，余事象を用いて

$\cfrac{256-(4+36+48+24)}{256}=\cfrac{9}{16}$

(iii)

$9\times\cfrac{1}{64}+3\times\cfrac{9}{64}+2\times\cfrac{3}{16}+1\times\cfrac{9}{16}$

$=\cfrac{9+27+24+36}{64}=\cfrac{96}{64}=\cfrac{3}{2}$