【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2013本試【解説・正解・問題】

第１問

〔1〕

$A=\cfrac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$，$B=\cfrac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{6}}$ とする。

このとき

$AB=\cfrac{1}{(1+\sqrt{6})^2-\boxed{\text{ ア }})}=\cfrac{\sqrt{6}-\boxed{\text{ イ }}}{\boxed{\text{ ウ }}}$

であり，また

$\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}=\boxed{\text{ エ }}+\boxed{\text{ オ }}\sqrt{6}$

である。以上により

$A+B=\cfrac{\boxed{\text{ カ }}-\sqrt{6}}{\boxed{\text{ キ }}}$

となる。

〔2〕

三角形に関する条件 $p$，$q$，$r$ を次のように定める。

$p$ ：三つの内角がすべて異なる

$q$：直角三角形ではない

$r$： $45\degree$ の内角は一つもない

条件 $p$ の否定を $\overline{p}$ で表し，同様に $\overline{q}$，$\overline{r}$ はそれぞれ条件 $q$，$r$ の否定を表すものとする。

(1)　命題「$r\implies (p$ または $q)$」の対偶は「$\boxed{\text{ ク }} \implies \overline{r}$ 」である。

$\boxed{\text{ ク }}$ に当てはまるものを，次の⓪～③ のうちから一つ選べ。

⓪　$(p$ かつ $q)$
①　$(\overline{p}$ かつ $\overline{q})$

②　$(\overline{p}$ または $q)$　③　$(\overline{p}$ または $\overline{q})$

(2)　次の⓪～④のうち，命題「$(p$ または $q )\implies r$ 」に対する反例となっている三角形は $\boxed{\text{ ケ }}$ と $\boxed{\text{ コ }}$ である。

$\boxed{\text{ ケ }}$ と $\boxed{\text{ コ }}$ に当てはまるものを，⓪～④ のうちから一つずつ選べ。ただし，$\boxed{\text{ ケ }}$ と $\boxed{\text{ コ }}$ の解答の順序は問わない。

⓪　直角二等辺三角形
①　内角が $30\degree$，$45\degree$，$105\degree$ の三角形
②　正三角形
③　三辺の長さが $3$，$4$，$5$ の三角形
④　頂角が $45\degree$ の二等辺三角形

(3)　$r$ は $(p$ または $q)$ であるための $\boxed{\text{ サ }}$。
$\boxed{\text{ サ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～③ のうちから一つ選べ。
⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件ではない
②　十分条件であるが，必要条件ではない
③　必要条件でも十分条件でもない

解答・解説

ア $3$

イ,ウ　$2,4$

エ,オ $2,2$

カ,キ $4,2$

ク $1$

ケ,コ $1,4$ または $4,1$

サ $2$

〔1〕

AB$=\cfrac{1}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{6})(1-\sqrt{3}+\sqrt{6})}$

$=\cfrac{1}{\{(1+\sqrt{6})+\sqrt{3}\}\{(1+\sqrt{6})-\sqrt{3}\}}$

$=\cfrac{1}{(1+\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}$

$=\cfrac{1}{1+2\sqrt{6}+6-3}$

$=\cfrac{1}{2(2+\sqrt{6})}$

分母を有理化すると

$=\cfrac{2-\sqrt{6}}{2(2+\sqrt{6})(2-\sqrt{6})}$

$=\cfrac{2-\sqrt{6}}{2(4-6)}$

$=\cfrac{\sqrt{6}-2}{4}$

また

$\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}=1+\sqrt{3}+\sqrt{6}+1-\sqrt{3}+\sqrt{6}$

$=2+2\sqrt{6}=2(1+\sqrt{6})$

以上により

$\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}=\cfrac{A+B}{AB}$

$A+B=AB\bigg(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}\bigg)$

$=\cfrac{\sqrt{6}-2}{4}2(1+\sqrt{6})$

$=\cfrac{(\sqrt{6}-2)(1+\sqrt{6})}{2}$

$=\cfrac{\sqrt{6}+6-2-2\sqrt{6}}{2}$

$=\cfrac{4-\sqrt{6}}{2}$

〔2〕

(1)

例えば，$p\implies q$ の対偶は $\overline{q}\implies\overline{p}$ である。

同様に $r\implies p\cup q$ の対偶は $\overline{p\cup q}\implies\overline{r}$ であり，ド・モルガンの定理より
$\overline{p}\cap\overline{q}\implies\overline{r}$ と表せる。よって，①が当てはまる。

(2)

$p\implies r$ または $q\implies r$ の反例を考えるとよい。

①のとき $p\implies r$ は偽。

④のとき $q\implies r$ は偽。

したがって，①，④が反例となっている。

(3)

(2)より$p\cup q\implies r$ は偽であるので，あとは $r\implies p\cup q$ の真偽を確かめる必要がある。しかしこのままでは真偽を確かめることは難しいので，ある命題とその対偶では真偽が一致することを用いるとよい。

$r\implies p\cup q$ の対偶は $\overline{p\cup q}\implies \overline{r}$，つまり $\overline{p}\cap\overline{q}\implies\overline{r}$ である。

$\overline{p}\cap\overline{q}$：2 つ以上の内角が等しく，直角三角形である。つまり直角二等辺三角形であり，内角は$45\degree,45\degree,90\degree$ である。

$\overline{r}$：$45\degree$ の内角が 1 つ以上ある。

これより，$\overline{p}\cap\overline{q}\implies\overline{r}$ は真だから，$r\implies p\cup q$ も真である。

したがって，$r$ は ( $p$ または $q$ ) であるための十分条件であるが，必要条件ではない。