共テ・センター数学

【センター過去問】数学IA2012追試【問題・解答・解説】

第1問

〔1〕

(1) $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+ 1}$ の分母を有理化すると $\cfrac{\boxed{\text{ ア }} – \boxed{\text{ イ }}}{\boxed{\text{ ウ }}}$ である。次の ⓪ 〜 ② のうちから最小であるものを選ぶと $\boxed{\text{ エ }}$ であり,最大であるものを選ぶと $\boxed{\text{ オ }}$ である。

⓪ $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ ① $1$ ② $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$

(2) 次の ⓪ 〜 ③ のうちから最小であるものを選ぶと $\boxed{\text{ カ }}$ であり,最大であるものを選ぶと $\boxed{\text{ キ }}$ である。

⓪ $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ ① $\bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)^2$

② $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ ③ $\bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\bigg)^2$

〔2〕 $m,n$ を整数とする。
次の $\boxed{\text{ ク }}$,$\boxed{\text{ コ }}$ に当てはまるものを,次の①~⑤のうちから一つずつ選べ。また,次の$\boxed{\text{ ケ }}$,$\boxed{\text{ サ }}$に当てはまるものを,下の⑥~⑨のうちから一つずつ選べ。ただし,$\boxed{\text{ ケ }}$,$\boxed{\text{ サ }}$には,同じものを繰り返し選んでよい。

(1) $m,n$ に関する条件 $p,q$ を次のように定める。

$p$ : $m,n$ の少なくとも1つは3の倍数ではない。

$q$ : $m+n$,$m-n$ の少なくとも1つは3の倍数でない

$p$ の否定 $\overline{p}$ は $\boxed{\text{ ク }}$。

$p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{ ケ }}$。

(2) $m,n$ に関する条件 $r,s$ を次のように定める。

$r$ : $m,n$ の少なくとも1つは4の倍数ではない

$s$ : $m+n$,$m-n$ の少なくとも1つは4の倍数ではない

$s$ の否定 $\overline{s}$ が成立するならば $\boxed{\text{ コ }}$。

$r$ は $s$ であるための $\boxed{\text{ サ }}$。

⓪ $m,n$ の少なくとも1つは3の倍数である

① $m,n$ はともに3の倍数である

② $m,n$ はともに3の倍数でない

③ $m,n$ はともに奇数である

④ $m,n$ はともに偶数である

⑤ $m,n$ のうち一方だけが偶数である

⑥ 必要十分条件である

⑦ 必要条件であるが,十分条件でない

⑧ 十分条件であるが,必要条件でない

⑨ 必要条件でも十分条件でもない

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解答・解説

ア $3$

イ $\sqrt{3}$

ウ $2$

エ、オ $2$ $1$

カ 3

キ $0$

ク $1$

ケ $6$

コ $4$

サ $7$

〔1〕(1) 分母を有理化すると

$\cfrac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}+1}=\cfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\=\cfrac{3-\sqrt{3}}{3-1}\\=\cfrac{3-\sqrt{3}}{2}$

$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ と $\cfrac{3-\sqrt{3}}{2}$ を比べる場合,$\sqrt{3}$ が 1.5 以上の数であることを示すとよい。

$\cfrac{3}{2}$ と $\sqrt{3}$ を比べると,それぞれ 2 乗して

$\cfrac{9}{4} < 3$

となるので

$\cfrac{3}{2} < \sqrt{3}$

が成り立つ。これより

$\cfrac{3}{4} < \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

である。また

$\cfrac{3}{2} < \sqrt{3}\\-\sqrt{3} < -\cfrac{3}{2}\\3-\sqrt{3} < \cfrac{3}{2}\\\cfrac{3-\sqrt{3}}{2} < \cfrac{3}{4}$

したがって

$\cfrac{3-\sqrt{3}}{2} < \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

次に $\sqrt{3} < \sqrt{4}$ より $\sqrt{3} < 2$ となるので

$\cfrac{\sqrt{3}}{2} < 1$

したがって,最小は $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$,最大は $1$ である。

(2) $\cfrac{\sqrt{3}}{2} < 1$ だから,2 乗するともとの数より小さくなる。つまり

$\cfrac{\sqrt{3}}{2} > \bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)^2$

が成り立つ。同様に $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} < 1$ だから

$\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} > \bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\bigg)^2$

次に,(1)より $\cfrac{\sqrt{3}}{2} > \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ だから

最小は $\bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\bigg)^2$,最大は $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

〔2〕

$\overline{p}$ を考える。$p$ は $m$ が 3 の倍数でない,$n$ が 3 の倍数でない,$m,n$ ともに 3 の倍数でない場合だから,その否定は $m,n$ ともに 3 の倍数である場合である。

次に,3 の倍数を $3k$,3 の倍数でないものを $3k+1,3k+2$ として真偽を確かめるとよい。まず,1 つが 3 の倍数でない場合を考える。

$m:3k+1,n:3k$ とおくと

$m+n=6k+1$ ⇒ 3 の倍数でない

$m-n=1$ ⇒ 3 の倍数でない

となる。また,どちらも 3 の倍数でない場合を考える。

$m:3k+2,n:3k+1$ とおくと

$m+n=6k+3=3(2k+1)$ ⇒ 3 の倍数

$m-n=1$ ⇒ 3 の倍数でない

となり,$p\implies q$,$q\implies p$ はともに真である。

したがって,$p$ は $q$ であるための必要十分条件である。

(2) 同様に $\overline{s}$ は $m+n$,$m-n$ がともに 4 の倍数の場合である。したがって,$m,n$ はともに偶数である。

次に,1 つが 4 の倍数でない場合を考える。

$m=4k+1,n=4k$ とおくと

$m+n=8k+1$ ⇒ 4 の倍数でない

$m-n=1$ ⇒ 4 の倍数でない

となる。また どちらも 4 の倍数でない場合を考える。$m=4k+2,n=4k+2$ とおくと

$m+n=4k+4=4(k+1)$ ⇒ 4 の倍数

$m-n=0$ ⇒ 4 の倍数

となり,$r\implies s$ は偽,$s\implies r$ は真である。

したがって,$r$ は $s$ であるための必要条件であるが,十分条件ではない。

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