【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2012追試【解説・正解・問題】

第１問

〔１〕

(1)　$\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+ 1}$ の分母を有理化すると $\cfrac{\boxed{\text{ ア }} – \boxed{\text{ イ }}}{\boxed{\text{ ウ }}}$ である。次の ⓪ 〜 ② のうちから最小であるものを選ぶと $\boxed{\text{ エ }}$ であり，最大であるものを選ぶと $\boxed{\text{ オ }}$ である。

⓪ $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$　① $1$　② $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$

(2)　次の ⓪ 〜 ③ のうちから最小であるものを選ぶと $\boxed{\text{ カ }}$ であり，最大であるものを選ぶと $\boxed{\text{ キ }}$ である。

⓪ $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$　① $\bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)^2$

② $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$　③ $\bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\bigg)^2$

〔2〕　$m,n$ を整数とする。
次の $\boxed{\text{ ク }}$，$\boxed{\text{ コ }}$ に当てはまるものを，次の①～⑤のうちから一つずつ選べ。また，次の$\boxed{\text{ ケ }}$，$\boxed{\text{ サ }}$に当てはまるものを，下の⑥～⑨のうちから一つずつ選べ。ただし，$\boxed{\text{ ケ }}$，$\boxed{\text{ サ }}$には，同じものを繰り返し選んでよい。

(1)　$m,n$ に関する条件 $p,q$ を次のように定める。

$p$ : $m,n$ の少なくとも1つは3の倍数ではない。

$q$ : $m+n$，$m-n$ の少なくとも1つは3の倍数でない

$p$ の否定 $\overline{p}$ は　$\boxed{\text{ ク }}$。

$p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{ ケ }}$。

(2)　$m,n$ に関する条件 $r,s$ を次のように定める。

$r$ : $m,n$ の少なくとも1つは4の倍数ではない

$s$ : $m+n$,$m-n$ の少なくとも1つは4の倍数ではない

$s$ の否定 $\overline{s}$ が成立するならば $\boxed{\text{ コ }}$。

$r$ は $s$ であるための $\boxed{\text{ サ }}$。

⓪ $m,n$ の少なくとも1つは3の倍数である

① $m,n$ はともに3の倍数である

② $m,n$ はともに3の倍数でない

③ $m,n$ はともに奇数である

④ $m,n$ はともに偶数である

⑤ $m,n$ のうち一方だけが偶数である

⑥ 必要十分条件である

⑦ 必要条件であるが，十分条件でない

⑧ 十分条件であるが，必要条件でない

⑨ 必要条件でも十分条件でもない

解答・解説

ア $3$

イ $\sqrt{3}$

ウ $2$

エ、オ $2$ $1$

カ 3

キ $0$

ク $1$

ケ $6$

コ $4$

サ $7$

〔1〕(1) 分母を有理化すると

$\cfrac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}+1}=\cfrac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\=\cfrac{3-\sqrt{3}}{3-1}\\=\cfrac{3-\sqrt{3}}{2}$

$\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ と $\cfrac{3-\sqrt{3}}{2}$ を比べる場合，$\sqrt{3}$ が 1.5 以上の数であることを示すとよい。

$\cfrac{3}{2}$ と $\sqrt{3}$ を比べると，それぞれ 2 乗して

$\cfrac{9}{4} < 3$

となるので

$\cfrac{3}{2} < \sqrt{3}$

が成り立つ。これより

$\cfrac{3}{4} < \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

である。また

$\cfrac{3}{2} < \sqrt{3}\\-\sqrt{3} < -\cfrac{3}{2}\\3-\sqrt{3} < \cfrac{3}{2}\\\cfrac{3-\sqrt{3}}{2} < \cfrac{3}{4}$

したがって

$\cfrac{3-\sqrt{3}}{2} < \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

次に $\sqrt{3} < \sqrt{4}$ より $\sqrt{3} < 2$ となるので

$\cfrac{\sqrt{3}}{2} < 1$

したがって，最小は $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$，最大は $1$ である。

(2) $\cfrac{\sqrt{3}}{2} < 1$ だから，2 乗するともとの数より小さくなる。つまり

$\cfrac{\sqrt{3}}{2} > \bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg)^2$

が成り立つ。同様に $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} < 1$ だから

$\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} > \bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\bigg)^2$

次に，(1)より $\cfrac{\sqrt{3}}{2} > \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ だから

最小は $\bigg(\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}\bigg)^2$，最大は $\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。

〔2〕

$\overline{p}$ を考える。$p$ は $m$ が 3 の倍数でない，$n$ が 3 の倍数でない，$m,n$ ともに 3 の倍数でない場合だから，その否定は $m,n$ ともに 3 の倍数である場合である。

次に，3 の倍数を $3k$，3 の倍数でないものを $3k+1,3k+2$ として真偽を確かめるとよい。まず，1 つが 3 の倍数でない場合を考える。

$m:3k+1,n:3k$ とおくと

$m+n=6k+1$ ⇒ 3 の倍数でない

$m-n=1$ ⇒ 3 の倍数でない

となる。また，どちらも 3 の倍数でない場合を考える。

$m:3k+2,n:3k+1$ とおくと

$m+n=6k+3=3(2k+1)$ ⇒ 3 の倍数

$m-n=1$ ⇒ 3 の倍数でない

となり，$p\implies q$，$q\implies p$ はともに真である。

したがって，$p$ は $q$ であるための必要十分条件である。

(2) 同様に $\overline{s}$ は $m+n$，$m-n$ がともに 4 の倍数の場合である。したがって，$m,n$ はともに偶数である。

次に，1 つが 4 の倍数でない場合を考える。

$m=4k+1,n=4k$ とおくと

$m+n=8k+1$ ⇒ 4 の倍数でない

$m-n=1$ ⇒ 4 の倍数でない

となる。また どちらも 4 の倍数でない場合を考える。$m=4k+2,n=4k+2$ とおくと

$m+n=4k+4=4(k+1)$ ⇒ 4 の倍数

$m-n=0$ ⇒ 4 の倍数

となり，$r\implies s$ は偽，$s\implies r$ は真である。

したがって，$r$ は $s$ であるための必要条件であるが，十分条件ではない。