【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2012本試【解説・正解・問題】

第4問

$1$ から $9$ までの数字が一つずつ書かれた $9$ 枚のカードから $5$ 枚のカードを同時に取り出す。このようなカードの取り出し方は $\boxed{\text{ アイウ }}$ 通りある。

(1)　取り出した $5$ 枚のカードの中に $5$ と書かれたカードがある取り出し方は $\boxed{\text{ エオ }}$ 通りであり，$5$ と書かれたカードがない取り出し方は $\boxed{\text{ カキ }}$ 通りである。

(2)　次のように得点を定める。

・取り出した $5$ 枚のカードの中に $5$ と書かれたカードがない場合は，得点を $0$ 点とする。
・取り出した $5$ 枚のカードの中に $5$ と書かれたカードがある場合，この $5$ 枚を書かれている数の小さい順に並べ，$5$ と書かれたカードが小さい方から $k$ 番目にあるとき，得点を $k$ 点とする。

得点が $0$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ ク }}}{\boxed{\text{ ケ }}}$ である。得点が $1$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ コ }}}{\boxed{\text{ サシス }}}$ で，得点が $2$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ セ }}}{\boxed{\text{ ソタ }}}$，得点が $3$ 点となる確率は $\cfrac{\boxed{\text{ チ }}}{\boxed{\text{ ツ }}}$ である。
また，得点の期待値は $\cfrac{\boxed{\text{ テ }}}{\boxed{\text{ ト }}}$ 点である。

正解と解説

アイウ $126$

エオ $70$

カキ $56$

$\cfrac{\text{ク}}{\text{ケ}}$ $\cfrac{4}{9}$

$\cfrac{\text{コ}}{\text{サシス}}$ $\cfrac{1}{126}$

$\cfrac{\text{セ}}{\text{ソタ}}$ $\cfrac{8}{63}$

$\cfrac{\text{チ}}{\text{ツ}}$ $\cfrac{2}{7}$

$\cfrac{\text{テ}}{\text{ト}}$ $\cfrac{5}{3}$

9 枚のカードから 5 枚のカードを同時にとり出す
$_9C_5=_9C_4=\cfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$
$=126$ 通り

(1)

5 と書かれたカードがある取り出し方は，5 のカードと 5 以外の 8 枚のカードから 4 枚を選べばよい。
$_8C_4=\cfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}$
$=70$ 通り

5 と書かれたカードがない取り出し方は，5 以外の 8 枚のカードから 5 枚を選べばよい。
$_8C_5=_8C_3=\cfrac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}$
$=56$ 通り

(2)

(i) 0 点となる確率
$\cfrac{56}{126}=\cfrac{4}{9}$

(ii) 1 点となる確率
カードの組み合わせは 5,6,7,8,9 の 1 通り
$\cfrac{1}{126}$ 通り

(iii) 2 点となる確率
例えば，1,5,7,8,9 のように，1～4 の 4 枚から 1 枚，6～9 の 4 枚から 3 枚を選べばよい。
$\cfrac{_4C_1\times_4C_3}{126}=\cfrac{8}{63}$

(iv) 3 点となる確率
1～4 の 4 枚から 2 枚，6～9 の 4 枚から 2 枚を選べばよい。
$\cfrac{_4C_2\times_4C_2}{126}=\cfrac{2}{7}$

(v) 4 点となる確率
1～4 の 4 枚から 3 枚，6～9 の 4 枚から 1 枚を選べばよい。
$\cfrac{_4C_3\times_4C_1}{126}=\cfrac{8}{63}$

(vi) 5 点となる確率
1～4 から 4 枚を選べばよいので 1 通り。
$\cfrac{1}{126}$

したがって期待値は
$1\times\cfrac{1}{126}+2\times\cfrac{8}{63}+3\times\cfrac{2}{7}+4\times\cfrac{8}{63}+5\times\cfrac{1}{126}$
$=\cfrac{5}{3}$