北海道大数III高校数学の解法

【数III積分】媒介変数の描く図形の面積・置換積分で攻略!(北海道大2021理系第5問)

座標平面上で,媒介変数 $\theta$ を用いて

$x=(1+\cos\theta)\cos\theta$,$y=\sin\theta$ $(0\leqq\theta<\pi)$

と表される曲線 $C$ がある。$C$ 上の点で $x$ 座標の値が最小になる点を A とし,A の $x$ 座標の値を $a$ とおく。B を点 $(a,0)$,O を原点 $(0,0)$ とする。(北海道大2021)

(1) $a$ を求めよ。

(2) 線分 AB と線分 OB と $C$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

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x の最小値を求める

媒介変数表示で示された関数から面積求めるよ。

媒介変数のときグラフが全然イメージつかない。

はっきりした形は分からなくてもおおまかな形だけ分かれば大丈夫よ。大事なのは解き方だから,ガッツリ習得して。

(1)から始めます。

問題文から考えると,ようするに $x$ の最小値を求めよ,ということです。

普通は $y$ が $x$ の式で表されていて,$x$ で微分するんだけど,式が $\theta$ で表されているから,ともかく $\theta$ で微分してみるの。

まずは微分してみましょう。かけ算の微分の公式を用います。

$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$x=(1+\cos\theta)\cos\theta$
$\cfrac{dx}{d\theta}=(1+\cos\theta)’\cos\theta+(1+\cos\theta)(\cos\theta)’$
$=(-\sin\theta)\cos\theta+(1+\cos\theta)(-\sin\theta)$
$=-\sin\theta\cos\theta-\sin\theta-\sin\theta\cos\theta$
$=-2\sin\theta\cos\theta-\sin\theta$
$=-\sin\theta(1+2\cos\theta)$

$-\sin\theta(1+2\cos\theta)=0$ とすると

$\sin\theta=0$ のとき

$\theta=0,\pi$

$1+2\cos\theta=0$ のとき

$\cos\theta=-\cfrac{1}{2}$
$\theta=\cfrac{2}{3}\pi$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\theta&0&\cdots&\frac{2}{3}\pi&\cdots&\pi\\\hline \frac{dx}{d\theta}&0&-&0&+&0\\\hline x&2&\searrow&-\frac{1}{4}&\nearrow&0\\\hline\end{array}$

$\theta=0$ のとき

$x=(1+\cos0)\cos0$
$=(1+1)\cdot1=2$

$\theta=\cfrac{2}{3}\pi$ のとき

$x=\Big(1+\cos\cfrac{2}{3}\pi\Big)\cos\cfrac{2}{3}\pi$
$=\Big(1-\cfrac{1}{2}\Big)\Big(-\cfrac{1}{2}\Big)$
$=-\cfrac{1}{4}$

$\theta=\pi$ のとき

$x=(1-1)(-1)=0$

したがって,$a=-\cfrac{1}{4}$ (答え)

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媒介変数表示された関数から面積を求める

(2)に進みます。

面積を求める前に,グラフのおおまかな形を調べましょう。

どうしたらいいの?

(1)で増減表書いて,$x$ のおおまかな変化は分かったから,今度は $y$ の変化を考えてみるといいよ。

$y=\sin\theta$ から,$y$ の値は $\theta=0,\pi$ で $y=0$ になり,$\theta=\cfrac{\pi}{2}$ のとき,$y=1$ になります。

これを表にまとめてみると

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\theta&0&\cdots&\frac{\pi}{2}&\cdots&\frac{2}{3}\pi&\cdots&\pi\\\hline x&2&\cdots&0&\cdots&-\frac{1}{4}&\cdots&0\\\hline y&0&\cdots&1&\cdots&\frac{\sqrt{3}}{2}&\cdots&0\\\hline\end{array}$

$\theta=\cfrac{\pi}{2}$ のとき

$x=\Big(1+\cos\cfrac{\pi}{2}\Big)\cos\cfrac{\pi}{2}$
$=(1+0)\cdot0=0$

$\theta=\cfrac{2}{3}\pi$ のとき
$y=\sin\cfrac{2}{3}\pi$
$=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$

こうして求めた座標をもとにすると,次のような図が出来上がります。

自分でグラフを描くときには,あくまでざっくりしたもので構いません。

ここから,面積を求めてみましょう。積分区間は $\Big[-\cfrac{1}{4},0\Big]$ であり,$y$ の値を積み重ねることで面積を求めることができます。

$S=\displaystyle\int_{-\small\frac{1}{4}}^0 y\space dx$

$y=\sin\theta$ ですか?

それだと,$S=\displaystyle\int_{-\small\frac{1}{4}}^0 \sin\theta\space dx$ ってなる。でも,$\theta$ の式を $x$ で積分するってできないよね?

じゃあ,$S=\displaystyle\int_{\small\frac{2}{3}\pi}^\pi \sin\theta\space d\theta$ はダメ?

ダメ。グラフの横軸は $x$ でしょ?グラフの横軸が $\theta$ ならその式でオッケーだけど,横軸は $x$ なの。勝手に $\theta$ に変えると横軸の縮尺が変わるから面積も違う大きさになってしまうよ。

図形の横の長さが変わってしまうカンジ?

そこで,置換積分を行います。

$x=(1+\cos\theta)\cos\theta$
$dx=-\sin\theta(1+2\cos\theta)\space d\theta$

よって

$S=\displaystyle\int_{-\small\frac{1}{4}}^0 \sin\theta\space dx$
$\displaystyle S=-\int_{\small\frac{2}{3}\pi}^\pi \sin\theta\sin\theta(1+2\cos\theta)\space d\theta$

実際,横軸の縮尺を $x$ としていたのを,$\theta$ に変換した場合,正しい式はこういう形になる。

なるほど。

$\displaystyle S=-\int_{\small\frac{2}{3}\pi}^\pi \sin^2\theta+2\sin^2\theta\cos\theta\space d\theta$

半角の公式より

$\displaystyle S=-\int_{\small\frac{2}{3}\pi}^\pi \cfrac{1-\cos2\theta}{2}+2\sin^2\theta\cos\theta\space d\theta$

$(\sin^3\theta)’=3\sin^2\theta\cos\theta$ となるので

$=\Big[\cfrac{1}{2}\theta-\cfrac{1}{2}\sin2\theta\cdot\cfrac{1}{2}+\cfrac{2}{3}\sin^3\theta\Big]_{\small\frac{2}{3}\pi}^\pi$

$\cos2\theta$ を積分すると $\sin2\theta\cdot\cfrac{1}{2}$ になる。合成関数の積分をするときには,中微分の逆数をかけるのを忘れずに。

$=-\Big\{\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{1}{4}\Big(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)-\cfrac{2}{3}\Big(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)^3\Big\}$
$=-\cfrac{\pi}{2}+\cfrac{\pi}{3}+\cfrac{\sqrt{3}}{8}-\cfrac{\sqrt{3}}{4}$
$=\cfrac{3\sqrt{3}}{8}-\cfrac{\pi}{6}$ (答え)

媒介変数表示の場合,一般的には媒介変数 $\theta$ を消去して,$y$ と $x$ の式にした上で積分していきます。

今回の場合のように,媒介変数 $\theta$ を消去することが難しい場合は,$x$ を置換積分して $\theta$ の積分に置きかえるとうまくいきます。テクニックとしてマスターしておきましょう。

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