数IAIIB横浜国立大高校数学の解法

横浜国立大2019文系第1問 場合の数と条件付き確率:むしろ全パターン数えた方が速くね?で突破してみる

赤色,白色,黄色の 3 つのさいころを同時に投げ,それぞれのさいころの出た目を $x,y,z$ とする。$x$ と $y$ の最小値を $m$,最大値を $M$ とする。次の問いに答えよ

(1) $m\leqq z\leqq M$ となる確率を求めよ。

(2) $m\leqq z\leqq M$ という条件の下で,$M-m=3$ となる条件付き確率を求めよ。

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全パターン数えてみる

(1)から始めます。

問題文から,$x,y$ のどちらかを最小値で,もう一方を最大値とします。つまり,$(x,y)=(m,M)$ または $(x,y)=(M,m)$ ということです。

たとえば,$(x,y)=(2,4)$ だったら,$x$ が $m$ で,$y$ が $M$ ということになります。

$2\leqq z\leqq4$

となるので,これにあてはまる $z$ は $2,3,4$ の 3 通りです。

同様に,$(x,y)=(4,2)$ の場合も 3 通りになるので,$(m,M)=(2,4)$ のとき,場合の数は 6 通りになります。

別のケースも考えてみましょう。もし,$(m,M)=(1,1)$ ならどうでしょうか?この場合は $z$ は 1 通りだけです。

$(m,M)$ の組み合わせは限られているので,いろいろ考えるよりも全パターンを数えてしまった方がかえって間違いがないでしょう。

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline m,M&\textsf{場合の数}\\\hline1,1&1\\1,2&4\\1,3&6\\1,4&8\\1,5&10\\1,6&12\\2,2&1\\2,3&4\\2,4&6\\2,5&8\\2,6&10\\3,3&1\\3,4&4\\3,5&6\\3,6&8\\4,4&1\\4,5&4\\4,6&6\\5,5&1\\5,6&4\\6,6&1\\\hline\textsf{合計}&106\\\hline\end{array}$

したがって,求める確率は

$\cfrac{106}{6^3}=\cfrac{53}{108}$ (答え)

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条件付き確率

(2)に進みます。

$M-m=3$ のとき
$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline m,M&\textsf{場合の数}\\\hline1,4&8\\2,5&8\\3,6&8\\\hline\textsf{合計}&24\\\hline\end{array}$

したがって,条件付き確率は

$\cfrac{\cfrac{24}{6^3}}{\cfrac{106}{6^3}}=\cfrac{12}{53}$ (答え)

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