【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2019本試【解説・正解・問題】

第1, 2問必答。第3~5問はいずれか2問を選択し, 解答。

第1問　解答・解説

ア イ 3 1　ウ エ 4 1　オカ キ －2 3

ク 6　ケコ サ －7 3　シ 0　ス 2

セ 0　ソ 2　タ 3　チ 2　ツ テ 4 1

ト,ナ 5, 1　ニ ヌ 3 2　ネノ ハ －1 4

〔1〕

$9a^2-6a+1=(3a-1)^2$

・・・アイ

$A=\sqrt{(3a-1)^2}+|a+2|$ とおくと

(i) $a$ ＞ $\cfrac{1}{3}$ のとき

$3a-1$ ＞ 0，$a+2$ ＞ 0 だから

$A=3a-1+a+2=4a+1$

・・・ウエ

(ii) －2 ≦ $a$ ≦ $\cfrac{1}{3}$ のとき

$3a-1$ ≦ 0，$a+2$ ≧ 0 だから

$A=-3a+1+a+2$

$=-2a+3$

・・・オカキ

(iii) $a$ ＜ －2 のとき

$3a-1$ ＜ 0，$a+2$ ＜ 0 だから

$A=-3a+1-a-2$

$=-4a-1$

また，$A=2a+13$ となる $a$ の値は

(i) $a$ ＞ $\cfrac{1}{3}$ のとき

$4a+1=2a+13$

$a=6$

(ii) －2 ≦ $a$ ≦ $\cfrac{1}{3}$ のとき

$-2a+3=2a+13$

$a=-\cfrac{5}{2}$

$-\cfrac{5}{2}$ ＜ －2 だから，不適。

(iii) $a$ ＜ －2 のとき

$-4a-1=2a+13$

$a=-\cfrac{7}{3}$

したがって

$a=6$，$\cfrac{-7}{3}$

・・・クケコサ

〔2〕

(1)

$\overline{p}$ は「$m$ または $n$ のうち少なくとも一つは偶数」

よって，$m$，$n$ が条件 $\overline{p}$ を満たすとき，$m$ が奇数ならば $n$ は偶数であり，$m$ が偶数ならば $n$ は偶数でも奇数でもよい。

・・・シス

(2)

$p\implies q$ を考えると，$m$ と $n$ がともに奇数ならば，$mn$ は奇数である。よって，真。

また，$q\implies p$ を考えると，$q$ が成り立つのは，$m$ と $n$ がともに奇数のときである。よって，真。

したがって，$p$ は $q$ であるための必要十分条件である。

・・・セ

次に $p\implies r$ を考えると，$m$ と $n$ がともに奇数のとき，$5n$ は奇数である。よって，$m+5n$ は偶数だから，真。

また，$r\implies p$ を考えると，$m$ と $n$ がともに偶数のとき，$m+5n$ は偶数である。よって，偽。

$p$ は $r$ であるための十分条件であるが，必要条件ではない。

・・・ソ

さらに，$\overline{p}\implies r$ を考えると，$m$ が偶数で $n$ が奇数のとき $m+5n$ は奇数になる。よって，偽。

また，$r\implies\overline{p}$ を考えると，$m+5n$ が偶数になるのは $m$ と $n$ がともに奇数の場合か，ともに偶数の場合だから，偽。

$\overline{p}$ は $r$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

・・・タ

〔3〕

(1)

式を平方完成すると

$y=\Big(x+\cfrac{2a-b}{2}\Big)^2-\cfrac{(2a-b)^2}{4}+a^2+1$

$=\Big(x+\cfrac{2a-b}{2}\Big)^2-\cfrac{4a^2-4ab+b^2-4a^2-4}{4}$

$=\Big(x-\cfrac{b}{2}+a\Big)^2-\cfrac{b^2}{4}+ab+1$

したがって，頂点の座標は

$\Big(\cfrac{b}{2}-a,\enspace-\cfrac{b^2}{4}+ab+1\Big)$

・・・チツテ

(2)

$G$ が (－1，6) を通るとき

$6=(-1)^2+(2a-b)(-1)+a^2+1$

$=a^2-2a+b+2$

$b=-a^2+2a+4$

$=-(a^2-2a)+4$

$=-(a-1)^2+1+4$

$=-(a-1)^2+5$

したがって，$b$ は $a=1$ のとき，最大値 5 をとる。

・・・トナ

$a=1$，$b=5$ を頂点の座標に代入すると

$\cfrac{b}{2}-a=\cfrac{5}{2}-1=\cfrac{3}{2}$

$-\cfrac{b^2}{4}+ab+1=-\cfrac{25}{4}+1\cdot5+1$

$=-\cfrac{1}{4}$

したがって，グラフ $G$ は 2 次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\cfrac{3}{2}$，$y$ 軸方向に $\cfrac{-1}{4}$ だけ平行移動したものである。

・・・ニヌネノハ

第1問　問題文

〔1〕$a$ を実数とする。

$9a^2-6a+1=(\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}})^2$ である。次に

$A=\sqrt{9a^2-6a+1}+|a+2|$

とおくと

$A=\sqrt{(\boxed{\text{ア}}a-\boxed{\text{イ}})^2}+|a+2|$

である。

次の三つの場合に分けて考える。

・a ＞ $\cfrac{1}{3}$ のとき, $A=\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}$ である。

・ －2 ≦ $a$ ≦ $\cfrac{1}{3}$ のとき, $A=\boxed{\text{オカ}}a+\boxed{\text{キ}}$ である。

・ $a$ ＜ －2 のとき， $A=-\boxed{\text{ウ}}a-\boxed{\text{エ}}$ である。

$A=2a+13$ となる $a$ の値は

$\boxed{\text{ク}}$，$\cfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}$

である。

〔2〕二つの自然数 $m$, $n$ に関する三つの条件 $p$, $q$, $r$ を次のように定める。

$p$：$m$ と $n$ はともに奇数である

$q$：$3mn$ は奇数である

$r$：$m+5n$ は偶数である

また, 条件 $p$ の否定を $\overline{p}$ で表す。

(1) 次の$\boxed{\text{シ}}$, $\boxed{\text{スコ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~②のうちから一つずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。

二つの自然数 $m$, $n$ が条件を満たすとする。このとき, $m$ が奇数ならば $n$ は $\boxed{\text{シ}}$。また, $m$ が偶数ならば $n$ は $\boxed{\text{ス}}$。

⓪ 偶数である

① 奇数である

② 偶数でも奇数でもよい

(2) 次の $\boxed{\text{セ}}$, $\boxed{\text{ソ}}$, $\boxed{\text{タ}}$ に当てはまるものを, 下の⓪~③の
うちから一つずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。

$p$ は $q$ であるための $\boxed{\text{セ}}$。

$p$ は $r$ であるための $\boxed{\text{ソ}}$。

$\overline{p}$ は $r$ であるための $\boxed{\text{タ}}$。

⓪ 必要十分条件である

① 必要条件であるが, 十分条件ではない

② 十分条件であるが, 必要条件ではない

③ 必要条件でも十分条件でもない

〔3〕$a$ と $b$ はともに正の実数とする。$x$ の 2 次関数

$y=x^2+(2a-b)x+a^2+1$

のグラフを $G$ とする。

(1) グラフ $G$ の頂点の座標は

$\Big(\cfrac{b}{\boxed{\text{チ}}}-a$，$-\cfrac{b^2}{\boxed{\text{ツ}}}+ab+\boxed{\text{テ}}\Big)$

である。

(2) グラフ $G$ が点 (－1，6) を通るとき, $b$ のとり得る値の最大値は $\boxed{\text{ト}}$ であり, そのときの $a$ の値は $\boxed{\text{ナ}}$ である。

$b=\boxed{\text{ト}}$, $a=\boxed{\text{ナ}}$ のとき, グラフ $G$ は 2 次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $\cfrac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$, $y$ 軸方向に $\cfrac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ だけ平行移動したものである。