【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IA2015本試【解説・正解・問題】

第1問　解答・解説

ア,イ 1,3　ウ,エ 3,1　オ,カ 2,2

キク,ケ －1 2　コサ シ 13 4

①を平方完成すると

$y=-x^2+2x+2$

$y=-(x^2-2x)+2$

$=-(x-1)^2+1+2$

$-(x-1)^2+3$

頂点の座標は $(1,3)$

・・・アイ

①のグラフと $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものは

$f(x)=-(x-1-p)^2+3+q$

(1)

$2\leqq x\leqq 4$ において $f(2)$ で最大値をとるとき

$1+p\leqq 2$

$p\leqq 1$

・・・ウエ

$f(2)$ で最小値をとるとき

$1+p\geqq3$

$p\geqq2$

・・・オカ

(2)

2 次不等式 $f(x)>0$ の解が $-2\lt x\lt 3$ になるとき，$f(x)$ は $x=-2,3$ で $x$ 軸と交わる。このとき，グラフの軸は $(-2+3)\div2=\cfrac{1}{2}$ となる。よって

$1+p=\cfrac{1}{2}$

$p=-\cfrac{1}{2}$

・・・クキケ

また，$f(-2)=0$ だから

$f(-2)=-(-2-1+\cfrac{1}{2})^2+3+q=0$

$-\cfrac{25}{4}+3+q=0$

$q=\cfrac{13}{4}$

・・・コサシ

第１問～第３問は必答。第４問～第６問はいずれか２問を選択し，解答。

第１問　問題文

2 次関数

$y=-x^2+2x+2\cdots$①

のグラフの頂点の座標は $(\boxed{\text{ ア }},\boxed{\text{ イ }})$ である。また

$y=f(x)\cdots$②

は $x$ の 2 次関数で，そのグラフは，①のグラフを $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものであるとする。

(1)　下の $\boxed{\text{ ウ }}$，$\boxed{\text{ オ }}$ には，次の⓪～④のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

⓪ $\gt$　① $\lt$　② $\geqq$　③ $\leqq$　④ $\not =$

$2\leqq x \leqq 4$ における $f(x)$ の最大値が $f(2)$ になるような $p$ の値の範囲は

$p\space\boxed{\text{ ウ }}\space\boxed{\text{ エ }}$

であり，最小値が $f(2)$ になるような $p$ の値の範囲は

$p\space\boxed{\text{ オ }}\space\boxed{\text{ カ }}$

である。

(2)　2 次不等式 $f(x) \gt 0$ の解が $-2 \lt x \lt 3$ になるのは

$\displaystyle p=\frac{\boxed{\text{ キク }}}{\boxed{\text{ ケ }}}$，$\displaystyle q=\frac{\boxed{\text{ コサ }}}{\boxed{\text{ シ }}}$

のときである。