【スマホで読む・わかりやすい】センター数学IIB2014追試【解説・正解・問題】

1 2 3 4

第１問

〔1〕
不等式

4{log⁡2(3−x)}2+3log⁡18(3−x)2−2>0⋯4\{\log_2 (3-\sqrt{x})\}^2+3\log_{\small\frac{1}{8}}(3-\sqrt{x})^2-2 > 0\cdots①

を満たす xx のとり得る値の範囲を求めよう。

まず，真数は正であるから

0≦x< ア ⋯0 \leqq x \lt \boxed{\text{ ア }}\cdots②

である。ただし，対数 log⁡ab\log_a b に対し，aa を底といい，bb を真数という。

y=log⁡18(3−x)2y=\log_{\small\frac{1}{8}} (3-\sqrt{x})^2 とおくと，(18)y=(3−x)2\bigg(\cfrac{1}{8}\bigg)^y=(3-\sqrt{x})^2 である。 2 を底とする両辺の対数をとれば

y=− イ  ウ log⁡2(3−x)y=-\cfrac{\boxed{\text{ イ }}}{\boxed{\text{ ウ }}} \log_2 (3-\sqrt{x})

であることがわかる。

よって，X=log⁡2(3−x)X=\log_2(3-x) とおくと，①は

 エ X2−X−1>0⋯\boxed{\text{ エ }}X^2-X-1 > 0\cdots③

と表すことができる。

不等式③を解くと

X<−1 オ X < -\cfrac{1}{\boxed{\text{ オ }}}，X> カ X > \boxed{\text{ カ }}

となり，X=log⁡2(3−x)X=\log_2(3-\sqrt{x}) により

3−x< キ  ク 3-\sqrt{x} < \cfrac{\sqrt{\boxed{\text{ キ }}}}{\boxed{\text{ ク }}}，3−x> ケ ⋯3-\sqrt{x} > \boxed{\text{ ケ }}\cdots④

であることがわかる。②と④から，不等式①を満たす xx のとり得る値の範囲は

0≦x< コ 0\leqq x < \boxed{\text{ コ }}， サシ  ス − セ  キ <x< ア \cfrac{\boxed{\text{ サシ }}}{\boxed{\text{ ス }}}-\boxed{\text{ セ }}\sqrt{\boxed{\text{ キ }}} < x < \boxed{\text{ ア }}

である。

〔2〕

0≦θ≦π20\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{2} として，f(θ)=8sin⁡θcos⁡θ+6cos⁡2θf(\theta)=8\sin\theta\cos\theta+6\cos^2 \theta とおく。

(1)　2 倍角の公式と三角関数の合成を用いると

f(θ)= ソ sin⁡2θ+ タ (cos⁡2θ+1)f(\theta)=\boxed{\text{ ソ }}\sin 2\theta+\boxed{\text{ タ }}(\cos 2\theta+1)

= チ sin⁡(2θ+α)+ タ ⋯=\boxed{\text{ チ }}\sin( 2\theta+\alpha)+\boxed{\text{ タ }}\cdots⑤

となる。ただし，α\alpha は

sin⁡α= ツ  チ \sin\alpha = \cfrac{\boxed{\text{ ツ }}}{\boxed{\text{ チ }}}，cos⁡α= テ  チ \cos\alpha=\cfrac{\boxed{\text{ テ }}}{\boxed{\text{ チ }}}，0<α<π20 < \alpha < \cfrac{\pi}{2}

を満たすものとする。

0≦θ≦π20\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{2} のとき，2θ+α2\theta+\alpha のとり得る値の範囲は

α≦2θ+α≦π+α\alpha\leqq 2\theta+\alpha\leqq\pi+\alpha

であるから，0<α<π20 < \alpha < \cfrac{\pi}{2} に注意すると，sin⁡(2θ+α)\sin(2\theta+\alpha) は，θ= ト \theta=\boxed{\text{ ト }} で最大値 11，θ= ナ \theta=\boxed{\text{ ナ }} で最小値 − ニ  ヌ -\cfrac{\boxed{\text{ ニ }}}{\boxed{\text{ ヌ }}} をとることがわかる。ただし， ト \boxed{\text{ ト }}， ナ \boxed{\text{ ナ }} については，当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。

⓪ 00　① π4−α\cfrac{\pi}{4}-\alpha

② π4−α2\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\alpha}{2}　③ π2−α\cfrac{\pi}{2}-\alpha

④ π2−α2\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{\alpha}{2}　⑤ π2\cfrac{\pi}{2}

以上のことから，0≦θ≦π20\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{2} のとき，f(θ)f(\theta) のとり得る値の範囲は  ネ ≦f(θ)≦ ノ \boxed{\text{ ネ }}\leqq f(\theta)\leqq \boxed{\text{ ノ }} である。

(2)　f(θ)=6f(\theta)=6，0≦θ≦π20\leqq\theta\leqq\cfrac{\pi}{2} を満たす θ\theta を求めよう。⑤を用いると，f(θ)=6f(\theta)=6 から

sin⁡(2θ+α)= ハ  ヒ \sin(2\theta+\alpha)=\cfrac{\boxed{\text{ ハ }}}{\boxed{\text{ ヒ }}}

である。ここで，sin⁡α= ツ  テ \sin\alpha=\cfrac{\boxed{\text{ ツ }}}{\boxed{\text{ テ }}} と，すべての xx について sin⁡(π−x)= フ \sin(\pi-x)=\boxed{\text{ フ }} であることに注意すると，求める θ\theta は  ヘ \boxed{\text{ ヘ }} と  ホ \boxed{\text{ ホ }} であることがわかる。ただし， フ \boxed{\text{ フ }} については，当てはまるものを，次の⓪～③ のうちから一つ選べ。

⓪ cos⁡x\cos x　① −cos⁡x-\cos x　② sin⁡x\sin x　③ −sin⁡x-\sin x

また， ヘ \boxed{\text{ ヘ }}， ホ \boxed{\text{ ホ }} については，当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。 ヘ \boxed{\text{ ヘ }} と  ホ \boxed{\text{ ホ }} は解答の順序を問わない。

⓪ 00　① α\alpha　② π2−α\cfrac{\pi}{2}-\alpha

③ π2\cfrac{\pi}{2}　④ π−2α\pi-2\alpha　⑤ π−α\pi-\alpha

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解答・解説

ア 9　イ,ウ 2,3　エ 2

オ,カ 2,1　キ,ク 2,2

ケ 2　コ 1

サシ,ス,セ 19,2,3

ソ 4　タ 3　チ 5

ツ,テ 3,4　ト 2

ナ 5　ニ,ヌ 3,5

ネ,ノ 0,8　ハ,ヒ 3,5

フ 2

ヘ,ホ 0,2 または 2,0

〔1〕

(1)

真数条件（真数は 0 以上の数）から

3−x>03-\sqrt{x}\gt0

x<3\sqrt{x}\lt3

x<9x\lt9

したがって 0≦<x<9⋯⋯0\leqq\lt x\lt9\cdots\cdots②

次に (18)y=(3−x)2\bigg(\cfrac{1}{8}\bigg)^y=(3-\sqrt{x})^2 の両辺の 2 を底とする対数をとると

log⁡2(18)y=log⁡2(3−x)2\log_2\bigg(\cfrac{1}{8}\bigg)^y=\log_2 (3-\sqrt{x})^2

ylog⁡218=2log⁡2(3−x)y\log_2\cfrac{1}{8}=2\log_2(3-\sqrt{x})

y(log⁡21−log⁡28=2log⁡2(3−x)y(\log_2 1-\log_2 8=2\log_2(3-\sqrt{x})

y(0−3)=2log⁡2(3−x)y(0-3)=2\log_2(3-\sqrt{x})

y=−23log⁡2(3−x)y=-\cfrac{2}{3}\log_2(3-\sqrt{x})

X=log⁡2(3−x)X=\log_2(3-\sqrt{x}) とおくと，①は

4X2+3y−2>04X^2+3y-2\gt0

4x2+3(−23)X−2>04x^2+3\bigg(-\cfrac{2}{3}\bigg)X-2\gt0

4X2−2X−2>04X^2-2X-2\gt0

2X2−X−1>0⋯⋯2X^2-X-1\gt0\cdots\cdots③

これを解くと

(2X+1)(X−1)>0(2X+1)(X-1)\gt0

X<−12,X>1X\lt-\cfrac{1}{2},X\gt1

X=log⁡2(3−x)X=\log_2(3-\sqrt{x}) より

log⁡2(3−x)<−12\log_2(3-\sqrt{x})\lt-\cfrac{1}{2}

ここで log⁡ac=b\log_a c=b は ab=ca^b=c と表すことができることを考えると

3−x<2−123-\sqrt{x}\lt2^{-\small\frac{1}{2}}

3−x<12123-\sqrt{x}\lt\cfrac{1}{2^{\small\frac{1}{2}}}

3−x<123-\sqrt{x}\lt\cfrac{1}{\sqrt{2}}

3−x<223-\sqrt{x}\lt\cfrac{\sqrt{2}}{2}

また

log⁡2(3−x)>1\log_2(3-\sqrt{x})\gt1

3−x>23-\sqrt{x}\gt2

したがって

3−x<22,3−x>2⋯⋯3-\sqrt{x}\lt\cfrac{\sqrt{2}}{2},3-\sqrt{x}\gt2\cdots\cdots④

xx のとり得る範囲を求めると④より

3−x<223-\sqrt{x}\lt\cfrac{\sqrt{2}}{2}

3>3−22\sqrt{3}\gt3-\cfrac{\sqrt{2}}{2}

x>(3−22)2x\gt\bigg(3-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2

x>9−32+12x\gt9-3\sqrt{2}+\cfrac{1}{2}

x>192−32x\gt\cfrac{19}{2}-3\sqrt{2}

ここで 192−32\cfrac{19}{2}-3\sqrt{2} を考えると

1<2<21\lt\sqrt{2}\lt2

3<32<63\lt3\sqrt{2}\lt6

−6<−32<−3-6\lt-3\sqrt{2}\lt-3

192−6<192−32<192−3\cfrac{19}{2}-6\lt\cfrac{19}{2}-3\sqrt{2}\lt\cfrac{19}{2}-3

72<192−32<132\cfrac{7}{2}\lt\cfrac{19}{2}-3\sqrt{2}\lt\cfrac{13}{2}

また

3−x>23-\sqrt{x}\gt2

x<1\sqrt{x}\lt1

両辺を 2 乗して

x<1x\lt1

したがって

0≦x<1,192−32<x<90\leqq x\lt1,\cfrac{19}{2}-3\sqrt{2}\lt x\lt9

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