【確率・期待値】ブラックジャック的ゲーム　得点がいくつまでなら次を引くべき？(九州大)

次のような競技を考える。競技者がさいころを振る。もし、出た目が気に入ればその目を得点とする。そうでなければ、もう１回サイコロを振って、２つの目の合計を得点とすることができる。ただし、合計が７以上になった場合は得点は０点とする。この取り決めによって、２回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問いに答えよ。（九州大2010）
(1) 競技者が常にサイコロを２回振るとすると、得点の期待値はいくらか。
(2) 競技者が最初の目が６のときだけ２回目を振らないとすると、得点の期待値はいくらか。
(3) 得点の期待値を最大にするためには、競技者は最初の目がどの範囲にあるときに２回目を振るとよいか。

---

期待値のおさらい

常にサイコロを２回振る場合

(1) から考えます。

サイコロの目が 1 回目ー 2、2 回目ー 3 のときこれを $(2,3)$ と表すと

合計得点
2	$(1,1)$	$1$ 通り
3	$(1,2),(2,1)$	$2$ 通り
4	$(1,3),(2,2),(3,1)$	$3$ 通り
5	$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$	$4$ 通り
6	$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$	$5$ 通り

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times3+5\times4+6\times5)$

$\displaystyle =\frac{35}{18}$（答え）

6 のときだけ２回目を振らない

(2) に進みます。

サイコロを 1 回だけ振って 6 が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ だから

$\displaystyle\frac{35}{18}+6\times\frac{1}{6}=\frac{53}{18}$（答え）

得点がいくつまでなら次を引くべきか

(3) に進みます。

(i) 5, 6 のとき 2回目を引かない

合計得点
2	$(1,1)$	$1$ 通り
3	$(1,2),(2,1)$	$2$ 通り
4	$(1,3),(2,2),(3,1)$	$3$ 通り
5	$(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$	$4$ 通り
6	$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2)$	$4$ 通り

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times3+5\times4+6\times4)+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}$

$\displaystyle =\frac{130}{36}$

(ii) 4 ～ 6 のとき 2 回目を引かない

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times3+5\times3+6\times3)+\frac{1}{6}(4+5+6)$

$\displaystyle =\frac{143}{36}$

(iii) 3 ～ 6 のとき 2 回目を引かない

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times2+4\times2+5\times2+6\times2)+\frac{1}{6}(3+4+5+6)$

$\displaystyle =\frac{146}{36}$

(iv) 2 ～ 6 のとき 2 回目を引かない

$\displaystyle \frac{1}{36}(2\times1+3\times1+4\times1+5\times1+6\times1)+\frac{1}{6}(2+3+4+5+6)$

$\displaystyle =\frac{140}{36}$

(v) 1 ～ 6 のとき 2 回目を引かない

$\displaystyle \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{126}{36}$

したがって

最初の目が 2 以下のとき、2 回目を振るとよい。（答え）