【数Ⅲ複素数平面】αβの方程式、直線のなす角を求める

$s>0,t>0$ とする。原点をOとする複素数平面において、$\alpha=2-i,\beta=s+ti$ を表す点をそれぞれA、Bとする。さらに、点Cを直線OBに関して点Aと反対側にとり、△OBCが正三角形になるようにする。点Cを表す複素数を $z$ とするとき、以下の問いに答えよ。（熊本大・改）
(1) $z$ を $s,t$ を用いて表せ。
(2) $\alpha,\beta$ が等式 $4\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta=0$ を満たすとき、$\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}$と∠AOBをそれぞれ求めよ。また、$\beta$ と $z$ をそれぞれ求めよ。

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複素数平面における回転

まずはグラフを描いてみるとこのようになります。

△OBC が正三角形であることに注意して、点Bを$\displaystyle\frac{\pi}{3}$ 回転させれば点Cになります。

$\displaystyle z=(s+ti)\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\\\displaystyle=(s+ti)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\\displaystyle=\frac{s}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}si+\frac{t}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}t\\\displaystyle=\frac{s}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}s+\frac{t}{2}\right)i$

（答え）

αβの方程式を解く

(2)では $4\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta=0$ を $\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}$ の式に変形して解きます。

$\displaystyle 4+\frac{\beta^2}{\alpha^2}-2\frac{\beta}{\alpha}=0\\\displaystyle\frac{\beta^2}{\alpha^2}-2\frac{\beta}{\alpha}+4=0$
ここで $\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=A$ として
$\displaystyle A^2-2A+4=0\\A=1\pm\sqrt{1-4}=1\pm\sqrt{3}i$
よって $\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=1\pm\sqrt{3}i$

$\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=2\left(\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\\displaystyle=2\left(\cos\frac{\pi}{3}\pm i\sin\frac{\pi}{3}\right)$
よって∠AOB=$\displaystyle\frac{\pi}{3}$

ここから $\beta,z$ を求めます。
$\displaystyle\beta=2(2-i)\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\\\displaystyle=2(2-i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\\displaystyle=(2-i)(1+\sqrt{3}i)\\=2+2\sqrt{3}i-i+\sqrt{3}\\=2+\sqrt{3}+i(2\sqrt{3}-1)$
ここから $\beta$ をさらに $\displaystyle+\frac{\pi}{3}$ 回転して z を求めます。
$\displaystyle z=\{2+\sqrt3+i(2\sqrt{3}-1)\}\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\\\displaystyle=\{(2+\sqrt{3})+i(2\sqrt{3}-1)\}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\\displaystyle=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}i+\frac{3}{2}i+\sqrt{3}i-\frac{1}{2}i-3+\frac{\sqrt{3}}{2}\\\displaystyle=-2+\sqrt3+i(2\sqrt{3}+1)$

（答え）