【数II】3 次関数と直線の共有点が 2 個になるとき（千葉大2020第2問）

kk を定数とし，f(x)=x3−kxf(x)=x^3-kx とおく。曲線 C:y=f(x)C:y=f(x) 上に原点と異なる点 P(a,f(a))\text{P}(a,f(a)) をとる。点 P を通り曲線 CC とちょうど 2 点を共有する 2 つの直線のうち，傾きが大きい方を ℓ1\ell_1，小さい方を ℓ2\ell_2 とする。さらに，CC と ℓ1\ell_1 の共有点のうち P と異なるものを Q1\text{Q}_1，CC と ℓ2\ell_2 の共有点のうち P と異なるものを Q2\text{Q}_2 とする。ℓ1\ell_1 および ℓ2\ell_2 の方程式と，Q1\text{Q}_1 および Q2\text{Q}_2 の座標を求めよ。

接線を求める

グラフを描いてみると分かりますが，直線のうち 1 つは x=ax=a における接線です。ただし，これが ℓ1\ell_1 なのか ℓ2\ell_2 なのかはわからないので，あとで決めたいと思います。

微分して
f(x)=x3−kxf(x)=x^3-kx
f′(x)=3x2−kf'(x)=3x^2-k

x=ax=a における接線の傾きは

f′(a)=3a2−kf'(a)=3a^2-k

これが，(a,a3−ka)(a,a^3-ka) を通るので，接線の式は

直線の方程式

点(x1,y1)(x_1,y_1)を通り，傾きが mm の直線の方程式は
y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) つまり y=m(x−x1)+y1y=m(x-x_1)+y_1

y=(3a2−k)(x−a)+a3−kay=(3a^2-k)(x-a)+a^3-ka

式を整理していきましょう。

=(3a2−k)x−(3a2−k)a+a3−ka=(3a^2-k)x-(3a^2-k)a+a^3-ka
=(3a2−k)x−3a3+ka+a3+ka=(3a^2-k)x-3a^3+ka+a^3+ka
=(3a2−k)x−2a3=(3a^2-k)x-2a^3 ・・・①

これで直線の方程式が 1 つできました。

接点の x 座標を b とおく

もう一つの直線がうまく求められないです。
少しコツいるよね。

こういう場合，点 P を基準にして直線の式をつくろうとするとうまくいきません。

もう 1 の直線をよく見てみると，点 Q における接線になっていることが分かります。

そこで，点 Q の座標を (b,f(b))(b,f(b)) として直線の式を作ってみましょう。

x=bx=b における接線の傾きは

f′(b)=3b2−kf'(b)=3b^2-k

これが (b,b3−kb)(b,b^3-kb) を通るので，直線の式は

y=(3b2−k)(x−b)+b3−kby=(3b^2-k)(x-b)+b^3-kb
=(3b2−k)x−2b3=(3b^2-k)x-2b^3 ・・・②

これが (a,a3−ka)(a,a^3-ka) を通るので，代入すると

a3−ka=(3b2−k)a−2b3a^3-ka=(3b^2-k)a-2b^3
a3−ka=3ab2−ka−2b3a^3-ka=3ab^2-ka-2b^3
2b3−3ab2+a3=02b^3-3ab^2+a^3=0

これを bb についての方程式とみなし，方程式を解いて bb を求めます。この方程式は b=ab=a とすると左辺が 0 になります。つまり式は b−ab-a で割り切れます。

組立除法を用いて因数分解しましょう。

2−3a0a3∣a‾2a−2a2−a32−a−a20\begin{matrix}2&-3a&0&a^3|\underline{a}\\&2a&-2a^2&-a^3\\\hline2&-a&-a^2&0\end{matrix}

(b−a)(2b2−ab−a2)=0(b-a)(2b^2-ab-a^2)=0

さらに 2b2−ab−a22b^2-ab-a^2 は b=ab=a とすると 0 になるので，やはり b−ab-a で割り切れます。

2−a−a2∣a‾2aa22a0\begin{matrix}2&-a&-a^2|\underline{a}\\&2a&a^2\\\hline2&a&0\end{matrix}

(b−a)2(2b+a)=0(b-a)^2(2b+a)=0

2b+a=02b+a=0 とすると
b=−a2b=-\cfrac{a}{2}

方程式の解は b=a,−a2b=a,-\cfrac{a}{2} となりますが，b=ab=a は点 P のことなので，b=−a2b=-\cfrac{a}{2} を点 Q の xx 座標としましょう。

これを②に代入して

y=(3b2−k)x−2b3y=(3b^2-k)x-2b^3
={3⋅(−a2)2−k}x−2(−a2)3=\Big\{3\cdot\Big(-\cfrac{a}{2}\Big)^2-k\Big\}x-2\Big(-\cfrac{a}{2}\Big)^3
=(34a2−k)x+a34=\Big(\cfrac{3}{4}a^2-k\Big)x+\cfrac{a^3}{4} ・・・③

直線の決定

y=(3a2−k)x−2a3y=(3a^2-k)x-2a^3 ・・・①
y=(34a2−k)x+a34y=\Big(\cfrac{3}{4}a^2-k\Big)x+\cfrac{a^3}{4} ・・・③

2 つの直線の式ができあがったので，傾きを比べて ℓ1\ell_1 と ℓ2\ell_2 を決めましょう。

aa がどんな値でも a2a^2 は正の数です。ということは

3a2>34a23a^2>\cfrac{3}{4}a^2
3a2−k>34a2−k3a^2-k>\cfrac{3}{4}a^2-k

が成り立ちます。よって，①の式が ℓ1\ell_1，③の式が ℓ2\ell_2 です。

ℓ1:y=(3a2−k)x−2a3\ell_1:y=(3a^2-k)x-2a^3
ℓ2:y=(34a2−k)x+a34\ell_2:y=\Big(\cfrac{3}{4}a^2-k\Big)x+\cfrac{a^3}{4}
（答え）

共有点の座標を求める

あとは Q1\text{Q}_1 と Q2\text{Q}_2 の座標を求めましょう。

まずは Q1\text{Q}_1 から。

Q1\text{Q}_1 は ℓ1\ell_1 と CC の交点だから，式を連立して

x3−kx=(3a2−k)x−2a3x^3-kx=(3a^2-k)x-2a^3
x3−kx−(3a2−k)x+2a3=0x^3-kx-(3a^2-k)x+2a^3=0
x3−kx−3a2x+kx+2a3=0x^3-kx-3a^2x+kx+2a^3=0
x3−3a2x+2a3=0x^3-3a^2x+2a^3=0

式を因数分解します。

ここも x=ax=a とすると左辺が 0 になるし，そもそも共有点の 1 つは x=ax=a なんだから，解の 1 つは x=ax=a であるとも考えられるよね。

10−3a22a3∣a‾aa2−2a31a−2a20\begin{matrix}1&0&-3a^2&2a^3&|\underline{a}\\&a&a^2&-2a^3\\\hline1&a&-2a^2&0\end{matrix}

(x−a)(x2+ax−2a2)=0(x-a)(x^2+ax-2a^2)=0

x2+ax−2a2=0x^2+ax-2a^2=0 とすると，同様に x−ax-a で割り切れるので

1a−2a2∣a‾a2a212a0\begin{matrix}1&a&-2a^2&|\underline{a}\\&a&2a^2\\\hline1&2a&0\end{matrix}

(x−a)2(x+2a)=0(x-a)^2(x+2a)=0

よって x=a,−2ax=a,-2a

x=ax=a は点 P のことなので，Q1\text{Q}_1 の xx 座標は −2a-2a です。これを y=x3−kxy=x^3-kx に代入して

y=(−2a)3−k(−2a)y=(-2a)^3-k(-2a)
=−8a3+2ka=-8a^3+2ka

したがって

Q1(−2a,−8a3+2ka)\text{Q}_1(-2a,-8a^3+2ka) （答え）

さらに Q2\text{Q}_2 の座標を求めましょう。

Q2\text{Q}_2 の xx 座標は上でいったん求めていて，x=−a2x=-\cfrac{a}{2} でした。これを y=x3−kxy=x^3-kx に代入して

y=(−a2)3−k(−a2)y=\Big(-\cfrac{a}{2}\Big)^3-k\Big(-\cfrac{a}{2}\Big)
=−a38+ka2=-\cfrac{a^3}{8}+\cfrac{ka}{2}

したがって

Q2(−a2,−a38+ka2)\text{Q}_2\Big(-\cfrac{a}{2},-\cfrac{a^3}{8}+\cfrac{ka}{2}\Big) （答え）

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