2つのさいころの積をnで割って1余る場合を考える(神戸大2019理系第3問)

$n$ を 2 以上の整数とする。2 個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積を $n$ で割った余りが 1 となる確率を $P_n$ とする。以下の問に答えよ。

(1) $P_2$，$P_3$，$P_4$ を求めよ。

(2) $n\geqq36$ のとき，$P_n$ を求めよ。

(3) $P_n=\cfrac{1}{18}$ となる $n$ をすべて求めよ。

積を n で割ったあまりが 1 になるとき

(1)から始めます。

さいころ 2 個の組み合わせは 36 通りなので，当てはまるものを数え上げていきましょう。

まず，$P_2$ は，積を 2 で割った余りが 1 となる場合です。これは積が奇数であるということです。

さいころが 1 個でも偶数だと，積は偶数になる。積が奇数になる条件は奇数×奇数のとき。

よって

(1,1),(1,3),(1,5)(3,1),(3,3),(3,5)(5,1),(5,3),(5,5)

の 9 通り。

$P_2=\cfrac{9}{36}=\cfrac{1}{4}$　（答え）

次に，$P_3$ を考えます。

3 で割った余りが 1 になる数は，$k$ を用いて $3k+1$ と表すことができます。これにあてはまる数は

1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34

あとは積がこれらに当てはまる場合を探します。

(1,1),(1,4),(2,2),(2,5)(4,1),(4,4),(5,2),(5,5)

の 8 通り。

$P_3=\cfrac{8}{36}=\cfrac{2}{9}$　（答え）

さらに，$P_4$ を考えます。

4 で割った余りが 1 になる数は，$4k+1$ で考えると

$1,5,9,13,17,21,25,29,33$

よって，当てはまるのは

(1,1),(1,5),(3,3),(5,1),(5,5)

の 5 通り。

$P_4=\cfrac{5}{36}$　（答え）

n ≧ 36 のとき

(2)に進みます。

2 個のさいころの積は最大で 36 です。これを 36 以上の数で割ると，積がそのまま余りになります。

よって，余りが 1 になるのは(1,1)のときのみ。

$P_n=\cfrac{1}{36}$　（答え）

当てはまる n をすべて求める

(3)に進みます。

$\cfrac{1}{18}=\cfrac{2}{36}$ となるので，36 通りのうち 2 通りだけが余り 1 になるパターンを考えようということです。

ここで，(1)，(2)を振り返ると分かりますが，積が 1 のときは $n$ が何であろうと，つねに余りは 1 となります。つまり 2 通りのうち 1 通りは (1,1) です。

そうすると，積を $n$ で割ったとき (1,1) ともう 1 通りだけ余りが 1 になるパターンを考えていけば良いことになります。

さらに条件を絞りこみましょう。

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}\hline&1&2&3&4&5&6\\\hline1&1&2&3&4&5&6\\\hline2&2&4&6&8&10&12\\\hline3&3&6&9&12&15&18\\\hline4&4&8&12&16&20&24\\\hline5&5&10&15&20&25&30\\\hline6&6&12&18&24&30&36\\\hline\end{array}$

こうやって積を表にしてみると分かりますが，例えば積が 18 になるのは (3,6),(6,3) の 2 通りあります。

このとき，$n=17$ とすると，18 を 17 で割った余りは 1 になるのですが，こうなるパターンは (1,1),(3,6),(6,3) の 3 通りあるので，不適となります。

そうすると，可能性としてあり得るのは，積が 1, 4, 9, 16, 25, 36 のときということになります。

(i) 積が 1 のとき

(1,1) の 1 通りだけなので不適。

(ii) 積が 4 のとき

積が 4 になるのは (2,2) 以外に，(1,4)，(4,1) があるので不適。

(iii) 積が 9 のとき

$n=8$ のとき，9 を 8 で割って余りが 1 になります。

(iv) 積が 16 のとき

$n=15$ のとき，16 は 15 で割ると余りが 1 になります。15 で割って余りが 1 になるのは，(1,1),(4,4) だけです。これは条件に適します。

あともう一つ，$n=5$ のときも 16 を 5 で割って余り 1 です。しかし，この場合は他にも (1,6),(6,1),(6,6) があるので，やはり不適です。

こうして条件に適するのは $n=15$ だけということになります。

(v) 積が 25 のとき

考えられる $n$ は $n=2,3,4,6,8,12,24$ があります。いずれの数で割っても余りは 1 です。

しかし(1)より $n=2,3,4$ は不適です。

$n=6$ のとき，6 で割って 1 余るのは (1,1),(5,5) だけなので，適します。

$n=8$ のときは，(iii)で述べた通り不適です。

$n=12$ のとき，12 で割って 1 余る数は (1,1),(5,5) だけです。よって適します。

$n=24$ も同様に適します。

(vi) 積が 36 のとき

考えられる $n$ は $n=5,7,35$ です。

$n=5$ は(iv)で述べた通り，不適です。

$n=7$ のとき，(6,6) 以外にも，(2,4),(4,2),(3,5),(5,3) があるので，不適です。

$n=35$ のとき，(1,1),(6,6) しかないので適します。

したがって

$n=6,12,15,24,35$　（答え）