ネイピア数 e の微分積分がわかる！実践問題にチャレンジ(熊本大2021医第3問)

媒介変数 $t$ を用いて表された曲線

$C:x=\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t}),y=\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})$

を考える。

(問1) 点 M の座標を (0,1) とする。曲線 $C$ 上の点 P に対して，MP を最小にする $t$ の値 $t_0$ を求めよ。

(問2) (問1) の $t_0$ に対する曲線 $C$ 上の点を Q とする。Q における $C$ の接線を $\ell$ とするとき，曲線 $C$ と接線 $\ell$ および $x$ 軸で囲まれた部分 $D$ の面積を求めよ。

(問3) (問2) の $D$ を $y$ 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。

微分して増減表をつくる

(1)から始めます。

MP の長さは三平方の定理で求めることができます。ルートがあると計算がややこしいので MP を 2 乗した値の最小値を考えていきましょう。

$f(t)=\text{MP}^2$ として

$=\Big\{\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})\Big\}^2+\Big\{\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})-1\Big\}^2$
$=\cfrac{1}{4}(e^t+e^{-t})^2+\cfrac{1}{4}(e^t-e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})+1\}$

ここで，$(e^t+e^{-t})^2$ は

$=e^{2t}+2e^t\cdot e^{-t}+e^{-2t}$
$=e^{2t}+2e^{t-t}+e^{-2t}$
$=e^{2t}+2e^0+e^{-2t}$
$=e^{2t}+2+e^{-2t}$

となります。

同様にして，$(e^t-e^{-t})^2=e^{2t}-2+e^{-2t}$ となります。

$=\cfrac{1}{4}(2e^{2t}+2e^{-2t})-e^t+e^{-t}+1$
$=\cfrac{1}{2}e^{2t}+\cfrac{1}{2}e^{-2t}-e^t+e^{-t}+1$

次に，式を微分しましょう。

ネイピア数は微分しても形が同じになるという便利な性質があります。

また，合成関数のときは

$(e^{2x})’=e^{2x}\cdot(2x)’=2e^{2x}$

となります。$2x$ を微分した 2 をかけるのを忘れずに。さらに

$(e^{-t})’=e^{-t}\cdot(-t)’$
$=e^{-t}\cdot(-1)=-e^{-t}$

$f'(t)=e^{2t}-e^{-2t}-e^t-e^{-t}$

$e^{2t}-e^{-2t}-e^t-e^{-t}=0$ とすると

$(e^t+e^{-t})(e^t-e^{-t})-(e^t+e^{-t})=0$
$(e^t+e^{-t})(e^t-e^{-t}-1)=0$

ここで $e^t+e^{-t}=0$ のとき

$e^t+\cfrac{1}{e^t}=0$

両辺に $e^t$ をかけて

$e^{2t}+1=0$
$e^{2t}=-1$

また，$e^t-e^{-t}-1=0$ のとき

$e^t-\cfrac{1}{e^t}-1=0$

両辺に $e^t$ をかけて

$e^{2t}-1-e^t=0$

$e^t=k$ とすると

$k^2-k-1=0$
$k=\cfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}$

$k$ は正の数だから

$=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

よって

$e^t=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$t$ を求めるために，両辺の対数をとります。

$\log e^t=\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$t\log e=\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$t=\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline t&\cdots&\log\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\cdots\\\hline f'(t)&-&0&+\\\hline f(t)&\searrow&&\nearrow\\\hline\end{array}$

たとえば，$t=0$ とすると，$f'(0)=1-1-1-1=-3$ になるのでマイナスです。

また，たとえば $t=10$ とすると

$f'(t)=e^{2t}-e^{-2t}-e^t-e^{-t}$
$=e^{2t}-e^t-\cfrac{1}{e^{2t}}-\cfrac{1}{e^t}$
$=e^{20}-e^{10}-\cfrac{1}{e^{20}}-\cfrac{1}{e^{10}}$

となります。こうすると，$e^{20}$ は $e^{10}$ よりはるかに大きな数で，$\cfrac{1}{e^{20}}$ と $\cfrac{1}{e^{10}}$ は 1 よりもずっと小さい数だから，プラスになります。

この辺りは実際に解答欄に書くわけではないので，頭の中のイメージとして持っておくだけで大丈夫です。

したがって

$t_0=\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ (答え)

積分で面積を求める

(2)に進みます。

グラフの概形を描くために $x,y$ をそれぞれ $t$ で微分し，増減表を作ります。

$x=\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})$

$t$ で微分すると

$\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})$

$e^t-e^{-t}=0$ とすると，$t=0$ のときに左辺が $e^0-e^{-0}=1-1=0$ となるので，$t=0$ で極値をとります。

さらに微分します。

$\cfrac{d^2x}{dt^2}=\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})$

$e^t+e^{-t}$ の場合，$e^t$ と $e^{-t}$ はどちらもつねに正の数で 0 になることはありません。よって，$e^t+e^{-t}=0$ としても解はありません。

また

$y=\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})$
$\cfrac{dy}{dt}=\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})$
$\cfrac{d^2y}{dt^2}=\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline t&\cdots&0&\cdots\\\hline \frac{dx}{dt}&-&0&+\\\hline\frac{d^2x}{dt^2}&+&e&+\\\hline x&&1\\\hline\frac{dy}{dt}&+&e&+\\\hline\frac{d^2y}{dt^2}&-&0&+\\\hline y&&0\\\hline\end{array}$

まず，接線 $\ell$ を求めましょう。

$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\cfrac{dy}{dt}}{\cfrac{dx}{dt}}$
$=\cfrac{\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})}{\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})}$
$=\cfrac{e^t+e^{-t}}{e^t-e^{-t}}$

$t=t_0$ とすると

$=\cfrac{e^{t_0}+e^{-t_0}}{e^{t_0}-e^{-t_0}}$

ここで，$e^{t_0}$ の値を求めてみます。パターンとして覚えましょう。

$e^{t_0}=k$ として，両辺の対数をとると

$\log e^{t_0}=\log k$
$t_0=\log k$

$\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\log k$
$k=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

よって

$e^{t_0}=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

また

$e^{-t_0}=\cfrac{2}{1+\sqrt{5}}$
$=\cfrac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}$
$=\cfrac{2(1-\sqrt{5})}{-4}$
$=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}$

これらを代入すると

$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}{\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}}$
$=\cfrac{1+\sqrt{5}+\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}$
$=\cfrac{2\sqrt{5}}{2}$
$=\sqrt{5}$

$t_0$ のときの $x,y$ を $x_0,y_0$ とすると，接線 $\ell$ の方程式は

$y=\sqrt{5}(x-x_0)+y_0$

となります。$x_0$ と $y_0$ を求めましょう。

$x_0=\cfrac{1}{2}(e^{t_0}+e^{-t_0})$
$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)$
$=\cfrac{\sqrt{5}}{2}$

$y_0=\cfrac{1}{2}(e^{t_0}-e^{-t_0})$
$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}$

したがって

$\ell:y=\sqrt{5}\Big(x-\cfrac{\sqrt{5}}{2}\Big)+\cfrac{1}{2}$
$=\sqrt{5}x-2$

$x$ 軸との接点を求めます。

$\sqrt{5}x-2=0$ とすると

$x=\cfrac{2}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$

ここから点 Q の座標を $(x_0,y_0)$ として，面積を求めます。考え方としては三角形の面積から，曲線 $C$，$x=x_0$ の直線，$x$ 軸で囲まれた部分を引くと良いでしょう。

三角形の面積は

$\cfrac{1}{2}\Big(x_0-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\Big)\cdot y_0$

と表すことができます。

$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{\sqrt{5}}{2}-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\Big)\cdot\cfrac{1}{2}$
$=\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{5\sqrt{5}-4\sqrt{5}}{10}$
$=\cfrac{\sqrt{5}}{40}$

また

$\displaystyle\int_1^{x_0} y\space dx$
$\displaystyle=\int_1^{x_0}\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})\space dx$
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}\int_1^{x_0}e^t-e^{-t}\space dx$

$x=\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})$
$dx=\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})\space dt$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c}x&1\rightarrow x_0\\\hline t&0\rightarrow t_0\end{array}$

よって

$\displaystyle=\cfrac{1}{2}\int_0^{t_0}(e^t-e^{-t})\cdot\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})\space dt$
$\displaystyle=\cfrac{1}{4}\int_0^{t_0}(e^t-e^{-t})^2\space dt$
$\displaystyle=\cfrac{1}{4}\int_0^{t_0}e^{2t}-2+e^{-2t}\space dt$

$=\cfrac{1}{4}\Big[\cfrac{1}{2}e^{2t}-2t-\cfrac{1}{2}e^{-2t}\Big]_0^{t_0}$
$=\cfrac{1}{8}\Big[e^{2t}-4t-e^{-2t}\Big]_0^{t_0}$
$=\cfrac{1}{8}(e^{2t_0}-4t_0-e^{-2t_0}-1+1)$

ここで，$e^{2t_0}$ は $(e^{t_0})^2$ と書き換えられる。

$(e^{t_0})^2=\Big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^2$
$=\cfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}$
$=\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

また

$(e^{-t_0})^2=\Big(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Big)^2$
$=\cfrac{5-2\sqrt{5}+1}{4}$
$=\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

となるので

$=\cfrac{1}{8}\Big\{\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}-4\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Big\}$
$=\cfrac{\sqrt{5}}{8}-\cfrac{1}{2}\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

したがって求める面積は

$S=\cfrac{\sqrt{5}}{40}-\cfrac{\sqrt{5}}{8}+\cfrac{1}{2}\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$S=-\cfrac{\sqrt{5}}{10}+\cfrac{1}{2}\log\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$　（答え）

y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積

(3)に進みます。

まず，曲線 $C$ がつくる回転体の体積を求めましょう。

$\displaystyle V_1=\int_0^{y_0} \pi r^2\space dy$
$\displaystyle=\pi\int_0^{y_0}\Big\{\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})\Big\}^2\space dy$
$\displaystyle=\cfrac{\pi}{4}\int_0^{y_0}e^{2t}+2+e^{-2t}\space dy$

ここも置換積分で対処します。

$y=\cfrac{1}{2}(e^t-e^{-t})$
$dy=\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})dt$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c}y&0\rightarrow y_0\\\hline t&0\rightarrow t_0\end{array}$

$\displaystyle=\cfrac{\pi}{4}\int_0^{t_0}(e^{2t}+2+e^{-2t})\cdot\cfrac{1}{2}(e^t+e^{-t})dt$
$\displaystyle=\cfrac{\pi}{8}\int_0^{t_0}e^{3t}+e^t+2e^t+2e^{-t}+e^{-t}+e^{-3t}\space dt$
$\displaystyle=\cfrac{\pi}{8}\int_0^{t_0}e^{3t}+3e^t+3e^{-t}+e^{-3t}\space dt$
$=\cfrac{\pi}{8}\Big[\cfrac{1}{3}e^{3t}+3e^t-3e^{-t}-\cfrac{1}{3}e^{-3t}\Big]_0^{t_0}$
$=\cfrac{\pi}{8}\Big\{\cfrac{1}{3}e^{3t_0}+3e^{t_0}-3e^{-t_0}-\cfrac{1}{3}e^{-3t_0}-\cfrac{1}{3}-3+3+\cfrac{1}{3}\Big\}$
$=\cfrac{\pi}{8}\Big\{\cfrac{1}{3}e^{3t_0}+3e^{t_0}-3e^{-t_0}-\cfrac{1}{3}e^{-3t_0}\Big\}$

ここで

$e^{3t_0}=(e^{t_0})^3$

さきほど，$(e^{t_0})^2$ を求めたのでそれを利用しましょう。

$(e^{t_0})^3=(e^{t_0})^2\cdot e^{t_0}$
$=\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$=\cfrac{3+3\sqrt{5}+\sqrt{5}+5}{4}$
$=2+\sqrt{5}$

また

$(e^{-t_0})^3=(e^{-t_0})^2\cdot e^{-t_0}$
$=\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
$=\cfrac{3\sqrt{5}-3-5+\sqrt{5}}{4}$
$=\sqrt{5}-2$

となるので

$=\cfrac{\pi}{8}\Big\{\cfrac{2+\sqrt{5}}{3}+\cfrac{3(1+\sqrt{5})}{2}-\cfrac{3(\sqrt{5}-1)}{2}-\cfrac{\sqrt{5}-2}{3}\Big\}$
$=\cfrac{\pi}{8}\Big(\cfrac{4}{3}+3\Big)$
$=\cfrac{\pi}{8}\cdot\cfrac{13}{3}$
$=\cfrac{13}{24}\pi$

次に真ん中の空洞部分の体積を求めましょう。

接線 $\ell$ の方程式は $y=\sqrt{5}-2$ でした。ただし，ここで必要なのは円の半径を表す $x$ の値です。

$y=\sqrt{5}x-2$
$x=\cfrac{y+2}{\sqrt{5}}$

これを円の半径として積分しましょう。

$\displaystyle V_2=\int_0^{y_0}\pi r^2\space dy$
$\displaystyle=\pi\int_0^{y_0}\Big(\cfrac{y+2}{\sqrt{5}}\Big)^2\space dy$
$\displaystyle=\cfrac{\pi}{5}\int_0^{y_0}y^2+4y+4\space dy$
$\displaystyle=\cfrac{\pi}{5}\Big[\cfrac{y^3}{3}+2y^2+4y\Big]_0^{y_0}$
$=\cfrac{\pi}{5}\Big(\cfrac{{y_0}^3}{3}+2{y_0}^2+4y_0\Big)$

$=\cfrac{\pi}{5}\Big(\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{1}{8}+2\cdot\cfrac{1}{4}+4\cdot\cfrac{1}{2}\Big)$
$=\cfrac{\pi}{5}\Big(\cfrac{1}{24}+\cfrac{1}{2}+2\Big)$
$=\cfrac{\pi}{5}\cdot\cfrac{1+12+48}{24}$
$=\cfrac{61}{120}\pi$

最後に引き算をして体積を求めましょう。

$V=V_1-V_2$
$=\cfrac{13}{24}\pi-\cfrac{61}{120}\pi$
$=\cfrac{130-122}{240}\pi$
$=\cfrac{8}{240}\pi$
$=\cfrac{1}{30}\pi$　（答え）