平面ベクトル・円に内接する四角形(横浜国立大2015理系第2問(文系第3問))

点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 ABC があり，

2OA→+3OB→+4OC→=0⃗2\overrightarrow{\text{OA}}+3\overrightarrow{\text{OB}}+4\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{0}

をみたしている。この円上に点 P があり，線分 AB と線分 CP は直交している。次の問いに答えよ。

(1) 内積 OA→⋅OB→\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}} と ∣AB→∣|\overrightarrow{\text{AB}}| をそれぞれ求めよ。

(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき，AH : HB を求めよ。

(3) 四角形 APBC の面積を求めよ。

内積を利用して辺の長さを求める

(1)から始めます。

まず，式を 2 乗して内積を求めていきます。

2OA→+3OB→=−4OC→2\overrightarrow{\text{OA}}+3\overrightarrow{\text{OB}}=-4\overrightarrow{\text{OC}}

両辺を 2 乗して

4∣OA→∣2+12OA→⋅OB→+9∣OB→∣2=16∣OC→∣24|\overrightarrow{\text{OA}}|^2+12\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+9|\overrightarrow{\text{OB}}|^2=16|\overrightarrow{\text{OC}}|^2

∣OA→∣=∣OB→∣=∣OC→∣=1|\overrightarrow{\text{OA}}|=|\overrightarrow{\text{OB}}|=|\overrightarrow{\text{OC}}|=1　より

4+12OA→⋅OB→+9=164+12\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+9=16
OA→⋅OB→=14\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=\cfrac{1}{4}　（答え）

また

AB→=OB→−OA→\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}} より

∣AB→∣2=(OB→−OA→)2|\overrightarrow{\text{AB}}|^2=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})^2
=∣OB→∣2−2OA→⋅OB→+∣OA→∣2=|\overrightarrow{\text{OB}}|^2-2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+|\overrightarrow{\text{OA}}|^2
=1−2⋅14+1=1-2\cdot\cfrac{1}{4}+1
=32=\cfrac{3}{2}

したがって

∣AB→∣=62|\overrightarrow{\text{AB}}|=\cfrac{\sqrt{6}}{2}　（答え）

内分点を求める

(2)に進みます。

まず，点 H は AB を t:1−tt:1-t に内分する点と考えます。

OH→=(1−t)OA→+tOB→\overrightarrow{\text{OH}}=(1-t)\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}

とは言え，このままでは話が進みません。そこで，問題文にあるもう一つの条件，AB と CP が直交することを式にしてみます。

直交ということは内積 0 だった。

ただし，点 P はベクトルとして表しようがないので，AB ⊥ CP としないで，AB ⊥ CH としてみます。そうすると

AB→⋅CH→=0\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{CH}}=0
(OB→−OA→)⋅(OH→−OC→)=0(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot(\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OC}})=0

という関係が成り立ちます。問題文の式に戻って OC→\overrightarrow{\text{OC}} を求めましょう。

2OA→+3OB→+4OC→=0⃗2\overrightarrow{\text{OA}}+3\overrightarrow{\text{OB}}+4\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{0} より
4OC→=−2OA→−3OB→4\overrightarrow{\text{OC}}=-2\overrightarrow{\text{OA}}-3\overrightarrow{\text{OB}}
OC→=−12OA→−34OB→\overrightarrow{\text{OC}}=-\cfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OA}}-\cfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}}

よって

(OB→−OA→)⋅(OH→−OC→)(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot(\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OC}})
=(OB→−OA→)⋅{(1−t)OA→+tOB→+12OA→+34OB→}=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot\{(1-t)\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OA}}+\cfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}}\}
=(OB→−OA→)⋅{(1−t)OA→+tOB→+12OA→+34OB→}=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot\{(1-t)\overrightarrow{\text{OA}}+t\overrightarrow{\text{OB}}+\cfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{OA}}+\cfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}}\}
=(OB→−OA→)⋅{(32−t)OA→+(34+t)OB→}=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})\cdot\Big\{\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}+\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\overrightarrow{\text{OB}}\Big\}
=(32−t)OA→⋅OB→+(34+t)∣OB→∣2−(32−t)∣OA→∣2−(34+t)OA→⋅OB→=\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)|\overrightarrow{\text{OB}}|^2-\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)|\overrightarrow{\text{OA}}|^2-\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}
=(32−t)⋅14+34+t−32−t−(34+t)⋅14=\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\cdot\cfrac{1}{4}+\cfrac{3}{4}+t-\cfrac{3}{2}-t-\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\cdot\cfrac{1}{4}
=38−14t+34+t−32+t−316−14t=\cfrac{3}{8}-\cfrac{1}{4}t+\cfrac{3}{4}+t-\cfrac{3}{2}+t-\cfrac{3}{16}-\cfrac{1}{4}t
=32t−916=0=\cfrac{3}{2}t-\cfrac{9}{16}=0

よって

t=38t=\cfrac{3}{8}

したがって

AH : HB = 3 : 5　（答え）

辺の比を利用して面積を求める

(3)に進みます。

図に戻って考えてみると，方べきの定理が成り立つことに気づきます。

方べきの定理より

AH・BH = CH・PH

(1)から AH と BH の長さは求めることができるので，あとは CH の長さが分かれば，それをもとに PH の長さを求めることもできそうです。

(2)より

CH→=(32−t)OA→+(34+t)OB→\overrightarrow{\text{CH}}=\Big(\cfrac{3}{2}-t\Big)\overrightarrow{\text{OA}}+\Big(\cfrac{3}{4}+t\Big)\overrightarrow{\text{OB}}

式に t=38t=\cfrac{3}{8} を代入すると

CH→=(32−38)OA→+(34+38)OB→\overrightarrow{\text{CH}}=\Big(\cfrac{3}{2}-\cfrac{3}{8}\Big)\overrightarrow{\text{OA}}+\Big(\cfrac{3}{4}+\cfrac{3}{8}\Big)\overrightarrow{\text{OB}}
=98(OA→+OB→)=\cfrac{9}{8}(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}})

両辺を 2 乗して

∣CH→∣2=8164(∣OA→∣2+2OA→⋅OB→+∣OB→∣2)|\overrightarrow{\text{CH}}|^2=\cfrac{81}{64}(|\overrightarrow{\text{OA}}|^2+2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+|\overrightarrow{\text{OB}}|^2)
=8164(1+12+1)=\cfrac{81}{64}\Big(1+\cfrac{1}{2}+1\Big)
=8164⋅52=\cfrac{81}{64}\cdot\cfrac{5}{2}

∣CH→∣=98⋅102=91016|\overrightarrow{\text{CH}}|=\cfrac{9}{8}\cdot\cfrac{\sqrt{10}}{2}=\cfrac{9\sqrt{10}}{16}

CH の長さが分かったので PH の長さを求めてみましょう。

AH・BH = CH・PH
38⋅62⋅58⋅62=91016⋅PH\cfrac{3}{8}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\cfrac{5}{8}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}=\cfrac{9\sqrt{10}}{16}\cdot\text{PH}
58=10⋅PH\cfrac{5}{8}=\sqrt{10}\cdot\text{PH}
PH=5810\text{PH}=\cfrac{5}{8\sqrt{10}}
=1016=\cfrac{\sqrt{10}}{16}

ここで，辺の比を考えます。

CH : PH = 91016:1016=9:1\cfrac{9\sqrt{10}}{16}:\cfrac{\sqrt{10}}{16}=9:1

よって，△ABC の面積を 109\cfrac{10}{9} 倍すれば，四角形 APBC の面積となります。

△ABC の面積は

12⋅62⋅91016\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\cfrac{9\sqrt{10}}{16}
=91532=\cfrac{9\sqrt{15}}{32}
したがって，四角形 APBC の面積は
91532⋅109=51516\cfrac{9\sqrt{15}}{32}\cdot\cfrac{10}{9}=\cfrac{5\sqrt{15}}{16}　（答え）

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