【意外とやっかい】1/sin x の積分のやりかた(横浜国立大2017理系第1問)

次の問いに答えよ。

(1) 関数 $f(x)=(3-x)e^x$ について，関数の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，$y=f(x)$ のグラフの概形をかけ。ただし，$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{x}{e^x}=0$ は証明なしで用いてよい。

(2) 定積分

$\displaystyle\int_0^{\small{\frac{\pi}{2}}}\cfrac{dx}{3\sin x+4\cos x}$

を求めよ。

第二次導関数を求める

(1)から始めます。

問題文のような聞かれ方をしたときには，第二次導関数を求めます。

積の微分の公式を用いて

$f'(x)=(3-x)’e^x+(3-x)(e^x)’$
$=-e^x+(3-x)e^x$
$=e^x(-1+3-x)$
$=e^x(2-x)$

極値を求めておきます。

$e^x(2-x)=0$ として

$e^x\not=0$　だから

$2-x=0$
$x=2$

次に第二次導関数を求めます。

$f”(x)=(e^x)'(2-x)+e^x(2-x)’$
$=e^x(2-x)-e^x$
$=e^x(2-x-1)$
$=e^x(1-x)$

$e^x(1-x)=0$ として
$e^x\not=0$ だから
$x=1$

$x$	$(-\infty)$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$(\infty)$
$f'(x)$		+	+	+	0	$-$
$f”(x)$		+	0	$-$	$-$	$-$
$f(x)$	0		$2e$		$e^2$		$(-\infty)$

$f(1)=2e$

$f(2)=e^2$

また

$f(-x)=(3+x)e^{-x}$
$=3e^{-x}+xe^{-x}$
$=\cfrac{3}{e^x}+\cfrac{x}{e^t}$

となるので

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(-x)$
$=0+0=0$

また

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}(3-x)e^x$
$=-\infty$

1/sin x の積分

(2)に進みます。

$\displaystyle\int_0^{\small{\frac{\pi}{2}}}\cfrac{dx}{3\sin x+4\cos x}$

まずは分母を三角関数の合成でまとめましょう。

$3\sin x+4\cos x=5\sin(x+\alpha)$

ただし $\sin\alpha=\cfrac{4}{5}$，$\cos\alpha=\cfrac{3}{5}$

よって

$=\cfrac{1}{5}\displaystyle\int_0^{\small{\frac{\pi}{2}}}\cfrac{dx}{\sin(x+\alpha)}$

ここから，置換積分をしておきます。

$x+\alpha=t$ とすると
$dx=dt$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline x&0\rightarrow\frac{\pi}{2}\\\hline t&\alpha\rightarrow\frac{\pi}{2}+\alpha\\\hline\end{array}$

よって

$=\cfrac{1}{5}\displaystyle\int_\alpha^{\small{\frac{\pi}{2}+\alpha}}\cfrac{dt}{\sin t}$

$\cfrac{1}{\sin x}$ を変形すると

$=\cfrac{\sin x}{\sin^2x}$
$=\cfrac{\sin x}{1-\cos^2x}$
$=\cfrac{\sin x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}$

これを部分分数分解します。

$\cfrac{1}{1+\cos x}+\cfrac{1}{1-\cos x}$
$=\cfrac{1-\cos x+1+\cos x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}$
$=\cfrac{2}{(1+\cos x)(1-\cos x)}$

となることを利用する。

$\cfrac{\sin x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}$
$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{\sin x}{1+\cos x}+\cfrac{\sin x}{1-\cos x}\Big)$

これを用いて

$\cfrac{1}{5}\displaystyle\int_\alpha^{\small{\frac{\pi}{2}+\alpha}}\cfrac{dt}{\sin t}$
$\cfrac{1}{10}\displaystyle\int_\alpha^{\small{\frac{\pi}{2}+\alpha}}\Big(\cfrac{\sin t}{1+\cos t}+\cfrac{\sin t}{1-\cos t}\Big)\space dt$
$=\cfrac{1}{10}\Big[-\log(1+\cos t)+\log(1-\cos t)\Big]_\alpha^{\small{\frac{\pi}{2}+\alpha}}$
$=\cfrac{1}{10}\Big[\log\cfrac{1-\cos t}{1+\cos t}\Big]_\alpha^{\small{\frac{\pi}{2}+\alpha}}$

ここで，$\cos\Big(\cfrac{\pi}{2}+\alpha\Big)=-\sin\alpha=-\cfrac{4}{5}$

公式として暗記しても良いのですが，単位円を書いて解決する方が現実的でしょう。

このように単位円を書いてみると，第2象限の $\cos\Big(\cfrac{\pi}{2}+\alpha\Big)$ は第1象限の $\sin\alpha$ と同じ大きさです。ただし，第2象限の $\cos$ は負の値なので，$\cos\Big(\cfrac{\pi}{2}+\alpha\Big)=-\sin\alpha$ とします。

$=\cfrac{1}{10}\left(\log\cfrac{1+\cfrac{4}{5}}{1-\cfrac{4}{5}}-\log\cfrac{1-\cfrac{3}{5}}{1+\cfrac{3}{5}}\right)$
$=\cfrac{1}{10}\Big(\log\cfrac{9}{1}-\log\cfrac{2}{8}\Big)$
$=\cfrac{1}{10}\Big(\log9-\log\cfrac{1}{4}\Big)$
$=\cfrac{1}{10}(\log9-\log1+\log4)$
$=\cfrac{1}{10}\log36$
$=\cfrac{1}{10}\log6^2$
$=\cfrac{1}{5}\log6$　（答え）