循環するタイプの特殊な数列の解き方(横浜国立大2018理系第4問)

$c$ を 5 で割り切れない 2 以上の整数とする。数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ は以下の条件をみたす。

(i) $a_n$ $(n=1,2,3,\cdots)$ は $0,1,\cdots,c-1$ のいずれかである。

(ii) $b_n$ は

$b_1=1$，$cb_{n+1}=5a_n+b_n$ $(n=1,2,3,\cdots)$

をみたす整数である。

次の問いに答えよ。

(1) $c=3$ のとき，$a_n$，$b_n$ $(n=1,2,3,\cdots)$ を求めよ。

(2) $n=1,2,3,\cdots$ に対して，$0<b_n<5$ を示せ。

(3) $c=5\ell+4$ ($\ell$ は 0 以上の整数)のとき，$a_n$，$b_n$ $(n=1,2,3,\cdots)$ を求めよ。

値を一つずつ当てはめてみる

(1)から始めます。

$a_n$ は教科書で習った等差数列や等比数列ともまったく異なるので，どうなるか想像がつかないかもしれません。

このような場合には，数列が実際どうなるのかを順番に求めてみると良いでしょう。

$3b_{n+1}=5a_n+b_n$ として

$b_1=1$ より

$3b_2=5a_1+1$

$a_1$ は $0,1,2$ のいずれかなので，順番に当てはめてみましょう。

・$a_1=0$ のとき

$3b_2=1$
$b_2=\cfrac{1}{3}$

$b_n$ は整数だから，不適。

・$a_1=1$ のとき

$3b_2=5+1=6$
$b_2=2$　（条件に合う）

・$a_1=2$ のとき

$3b_2=10+1=11$
$b_2=\cfrac{11}{3}$　（不適）

よって，$a_1=1$，$b_2=2$

他の項が求められました。あとは，何らかの法則性が見えてくるまで，作業を繰り返していきましょう。

$3b_3=5a_2+2$

・$a_2=0$ のとき

$b_3=\cfrac{2}{3}$　（不適）

・$a_2=1$ のとき

$b_3=\cfrac{7}{3}$　（不適）

・$a_2=2$ のとき

$b_3=4$　（条件に合う）

よって，$a_2=2$，$b_3=4$

$3b_4=5a_3+4$

・$a_3=0$ のとき

$b_4=\cfrac{4}{3}$　（不適）

・$a_3=1$ のとき

$b_4=3$　（条件に合う）

・$a_3=2$ のとき

$b_4=\cfrac{14}{3}$　（不適）

よって，$a_3=1$，$b_4=3$

$3b_5=5a_4+3$

・$a_4=0$ のとき

$b_5=1$　（条件に合う）

・$a_4=1$ のとき

$b_5=\cfrac{8}{3}$　（不適）

・$a_4=2$ のとき

$b_5=\cfrac{13}{3}$　（不適）

よって，$a_4=0$，$b_5=1$

$b_6=5a_5+1$

この式は，最初に作った $3b_2=5a_1+1$ と同じ形をしています。つまり，ここから先は同じ値を繰り返していくはずです。

結果的に，$a_n$ は $1,2,1,0$ の繰り返しで，$b_n$ は $1,2,4,3$ の繰り返しです。

したがって，

$\begin{cases}a_{4k+1}=1\\a_{4k+2}=2\\a_{4k+3}=1\\a_{4k}=0\end{cases}$　$(k=0,1,2,\cdots)$

$\begin{cases}b_{4k+1}=1\\b_{4k+2}=2\\b_{4k+3}=4\\b_{4k}=3\end{cases}$　$(k=0,1,2,\cdots)$

（答え）

数学的帰納法

(2)に進みます。ここは数学的帰納法を用いて証明していきましょう。

$0<b_n<5$ ・・・（＊）　として

[I] $n=1$ のとき

$0<b_1<5$
$0<1<5$

$n=1$ のとき，（＊）は成り立つ。

[II] $n=k$ のとき（＊）が成り立つと仮定すると，$n=k+1$ のとき

$0<b_{k+1}<5$

$0<cb_{k+1}<5c$

$0<5a_k+b_k<5c$

問題文をよく読み直してみると，(i)から $0\leqq a_n\leqq c-1$ という条件があることに気づきます。これを使ってみましょう。

$0\leqq a_k\leqq c-1$
$0\leqq5a_k\leqq5(c-1)$
$b_k\leqq5a_k+b_k\leqq5(c-1)+b_k$
$b_k\leqq cb_{k+1}\leqq5(c-1)+b_k$
$\cfrac{b_k}{c}\leqq b_{k+1}\leqq\cfrac{5(c-1)+b_k}{c}$

ここで，問題文より $c>0$ であり，また条件(i)より $a_n>0$ です。よって，$b_1=1$ から $5a_1+b_1$ は正の数だから，$cb_{n+1}=5a_n+b_n$ より，$b_1$ が正の数なら $b_2$ は正の数，$b_2$ が正の数なら $b_3$ は正の数・・・，となって$b_n$ はつねに正の数であることが分かります。
よって $0<\cfrac{b_k}{c}$ が成り立ちます。

また

$0<b_k<5$

より

$b_k<5$

$5(c-1)+b_k<5+5(c-1)$
$\cfrac{5(c-1)+b_k}{c}<\cfrac{5+5(c-1)}{c}$
$\cfrac{5(c-1)+b_k}{c}<5\Big(\cfrac{1+c-1}{c}\Big)$
$\cfrac{5(c-1)+b_k}{c}<5$

したがって

$0<\cfrac{b_k}{c}\leqq b_{k+1}\leqq\cfrac{5(c-1)+b_k}{c}<5$
$0<b_{k+1}<5$

よって，$n=k+1$ のときも（＊）は成り立つ。

[I]，[II]より，$0<b_n<5$　（証明終わり）

再び値を順番に当てはめてみる

(3)に進みます。

(2)より $b_n$ は $1,2,3,4$ のいずれかです。

$(5\ell+4)b_{n+1}=5a_n+b_n$ として

再び，値を順番に当てはめてみましょう。

$b_1=1$ より

$(5\ell+4)b_2=5a_1+1$

$5\ell b_2+4b_2=5a_1+1$

左右を見比べてみると，数列の値が整数という条件で恒等式が成り立つのは $4b_2$ を 5 で割ったときの余りが 1 になるときであることが分かります。$b_2$ に 1 から 4 の値を当てはめてみると，このようになるのは，$b_2=4$ のときだけです。

$b_2=4$ とすると

$20\ell+16=5a_1+1$
$5a_1=20\ell+15$
$a_1=4\ell+3$

よって，$a_1=4\ell+3$，$b_2=4$

$(5\ell+4)b_3=5a_2+4$
$5\ell b_3+4b_3=5a_2+4$

$b_3=1$ とすると

$5\ell+4=5a_2+4$
$a_2=\ell$

よって，$a_2=\ell$，$b_3=1$

$(5\ell+4)b_4=5a_3+1$

$5\ell b_4+4b_4=5a_3+1$

$b_4=4$ とすると

$20\ell+16=5a_3+1$
$a_3=4\ell+3$

よって，$a_3=4\ell+3$，$b_4=4$

ここで，最初の式に戻りました。あとは同じことの繰り返しです。

したがって
$\begin{cases}a_{2k+1}=4\ell+3\\a_{2k}=\ell\end{cases}$　$(k=0,1,2,\cdots)$

$\begin{cases}b_{2k+1}=1\\b_{2k}=4\end{cases}$　$(k=0,1,2,\cdots)$