高次方程式の積分に二項定理を用いるパターン(東京都立大2017理学部第1問)

$(x+2)^4=$
$_4C_0x^4\cdot2^0+_4C_1x^3\cdot2^1+_4C_2x^2\cdot2^2+_4C_3x^1\cdot2^3+_4C_4x^0\cdot2^4$

二項定理は公式より実際の例を見た方が良いです。

・$C$ は $_4C_0$ から右下の値を一つずつ増やす。
・$x$ は $x^4$ から一つずつ減らす。
・$2$ は $2^0$ から一つずつ増やす。

このルールでそれぞれの項を書いていき，$_4C_4$ まできたら終わりです。4 乗の式なら項が一つ多い 5 個できるので，書き終えたときに書き忘れがないかチェックすると良いでしょう。

演習問題

正の実数 $h$ と関数 $f(x)=x^4$ に対し，以下の問いに答えなさい。（東京都立大2017）

(1) $\displaystyle F(x)=\int_{1-h}^{1+h}f(x)\space dx$ を $h$ の整式で表しなさい。

(2) 放物線 $y=a(x-1)^2+b(x-1)+c$ が 3 点
$(1-h,f(1-h))$，$(1,f(1))$，$(1+h,f(1+h))$
を通るとき，$c$ の値を求めなさい。また，$a$ と $b$ を $h$ の整式としてそれぞれ表しなさい。

(3) (2)で求めた $a,b,c$ に対して，$\displaystyle G(h)=\int_{1-h}^{1+h}\{a(x-1)^2+b(x-1)+c\}\space dx$ を $h$ の整式として表しなさい。

(4) (1)の $F(h)$ と(3)の $G(h)$ に対して，$\cfrac{F(h)-G(h)}{h^5}$ を求めなさい。

二項定理を用いる

(1)から始めます。

$\displaystyle F(x)=\int_{1-h}^{1+h}f(x)\space dx$
$\displaystyle=\int_{1-h}^{1+h}x^4\space dx$
$=\cfrac{1}{5}\Big[x^5\Big]_{1-h}^{1+h}$
$=\cfrac{1}{5}\{(1+h)^5-(1-h)^5\}$　・・・①

ここで，二項定理を用います。

$(1+h)^5=_5C_0\cdot1+_5C_1h+_5C_2h^2+_5C_3h^3+_5C_4h^4+_5C_5h^5$ ・・・②

$(1-h)^5=_5C_0\cdot1-_5C_1h+_5C_2h^2-_5C_3h^3+_5C_4h^4-_5C_5h^5$ ・・・③

②－③

$2_5C_1h+2_5C_3h^3+2_5C_5h^5$
$=10h+20h^3+2h^5$

①に代入すると

$\cfrac{1}{5}(10h+2h^3+2h^5)$
$=\cfrac{2}{5}h^5+4h^3+2h$　（答え）

再び二項定理を利用する

(2) に進みます。

$y=a(x-1)^2+b(x-1)+c$

最初に，$(1,f(1))$ から考えると $c$ を求めることができます。

$(1,f(1))$ を通るとき，$f(x)=x^4$ より $f(1)=1$ だから

$1=a(1-1)^2+b(1-1)+c$
$c=1$

よって方程式は

$y=a(x-1)^2+b(x-1)+1$

となります。

次に $(1-h,f(1-h))$ を通るとき

$(1-h)^4=a(1-h-1)^2+b(1-h-1)+1$
$(1-h)^4=ah^2-bh+1$　・・・④

また $(1+h,f(1+h))$ を通るとき

$(1+h)^4=a(1+h-1)^2+b(1+h-1)+1$
$=ah^2+bh+1$ ・・・⑤

ここから，残りの $a$，$b$ を求めるために連立方程式を作りましょう。

④＋⑤

$(1-h)^4+(1+h)^4=2ah^2+2$　・・・⑥

$(1-h)^4=_4C_0\cdot1-_4C_1h+_4C_2h^2-_4C_3h^3+_4C_1h^4$　・・・⑦

$(1+h)^4=_4C_0\cdot1+_4C_1h+_4C_2h^2+_4C_3h^3+_4C_1h^4$　・・・⑧

⑦，⑧を⑥に代入すると

$2_4C_0\cdot1+2_4C_2h^2+2_4C_4h^4=2ah^2+2$
$2+12h^2+2h^4=2ah^2+2$
$2ah^2=2h^4+12h^2$
$a=h^2+6$

今度は引き算の式を使って $b$ を求めます。

④－⑤

$(1-h)^4-(1+h)^4=-2bh$　・・・⑨

⑦，⑧を⑨に代入すると

$-2bh=-2_4C_1h-2_4C_3h^3$
$bh=4h+4h^3$
$b=4h^2+4=4(h^2+1)$

したがって

$c=1$
$a=h^2+6$
$b=4(h^2+1)$

（答え）

積分する

(3)に進みます。

$\displaystyle G(h)=\int_{1-h}^{1+h}\{a(x-1)^2+b(x-1)+c\}\space dx$

(2)より

$\displaystyle =\int_{1-h}^{1+h}\{(h^2+6)(x-1)^2+4(h^2+1)(x-1)+1\}\space dx$
$\displaystyle=\Big[\cfrac{h^2+6}{3}(x-1)^3+2(h^2+1)(x-1)^2+x\Big]_{1-h}^{1+h}$
$=\cfrac{h^2+6}{3}h^3+2(h^2+1)h^2+1+h-\cfrac{h^2+6}{3}(-h)^3-2(h^2+1)(-h)^2-1+h$
$=\cfrac{2}{3}(h^2+6)h^3+2h$
$=\cfrac{2}{3}h^5+4h^3+2h$　（答え）

代入して計算する

(4)に進みます。ここは(1)と(3)の結果を代入して計算するだけです。

$\cfrac{F(h)-G(h)}{h^5}$
$=\cfrac{1}{h^5}\Big(\cfrac{2}{5}h^5+4h^3+2h-\cfrac{2}{3}h^5-4h^3-2h\Big)$
$=\cfrac{1}{h^5}\Big(-\cfrac{4}{15}h^5\Big)$
$=-\cfrac{4}{15}$　（答え）