【数III積分】円すいの体積の公式を回転体の体積として求めてみる／公式に1/3がある理由

中学で円すいの体積は

$V=\cfrac{1}{3}\times$ 底面積 $\times$ 高さ

であると習いました。

とは言え，$\cfrac{1}{3}$ って何？と思ったことはないでしょうか。

この公式は，円すいだけでなく角すいでも使えます。実のところ底面の形が何であろうと関係なく，それがすい体であるならば同じ公式が使えます。

この謎は中学校では説明されませんが，高校生なら積分を使って解き明かすことができます。

円すいの体積

まずは，円すいの体積を積分で求めてみましょう。

円すいを横に倒してグラフにすると，回転体として考えることができます。

底面の半径を $r$，高さを $h$ とすると，直線は $y=\cfrac{r}{h}x$ として表すことができます。

回転体の体積は，円の面積を積み重ねることによって求めることができます。つまり

$\displaystyle V=\int_0^h S\enspace dx$

となります。

円の面積は $S=\pi r^2$，$r=\cfrac{r}{h}x$ だから

$S=\pi\Big(\cfrac{r}{h}x\Big)^2$
$=\cfrac{r^2\pi}{h^2}x^2$

よって

$\displaystyle V=\int_0^h \cfrac{r^2\pi }{h^2}x^2\enspace dx$
$=\cfrac{r^2\pi }{h^2}\Big[\cfrac{x^3}{3}\Big]_0^h$
$=\cfrac{r^2\pi}{h^2}\cdot\cfrac{h^3}{3}$
$=\cfrac{hr^2\pi}{3}$

つまり

$V=\cfrac{1}{3}\times \pi r^2\times h$

これで，円すいの体積が $V=\cfrac{1}{3}\times$ 底面積 $\times$ 高さ であることが分かりました。

すい体の体積

次に，底面が円でないときを考えてみましょう。

ある２つの相似な図形があるとき，その面積の比は辺の比の２乗となります。たとえば，辺の比が $1:2$ なら，面積の比は $1:2^2=1:4$ となるのでした。

いったん，すい体の高さを 1 として，高さと面積の関係をグラフで表してみると，2 次関数のグラフができあがります。

高さが 1 のときの面積を $S$ とすると，高さが $\cfrac{1}{2}$ のときの面積は $\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2S=\cfrac{1}{4}S$，高さが $\cfrac{1}{4}$ のときの面積は $\Big(\cfrac{1}{4}\Big)^2S=\cfrac{1}{16}S$ となります。

よって，この関数は $y=Sx^2$ として表すことができます。

これを積分して体積を求めてみましょう。

$\displaystyle V=\int_0^1 Sx^2\enspace dx$
$=S\Big[\cfrac{1}{3}x^3\Big]_0^1$
$=\cfrac{1}{3}S$

高さを h とする

次に，すい体の高さが $h$ である場合を考えてみましょう。

高さが $h$ のときの面積を $S$ とするなら，高さが $\cfrac{1}{2}h$ のときの面積はやはり $\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2S$ となります。面積の比は辺の長さの比の２乗だからです。

この関数は $y=\cfrac{S}{h^2}x^2$ となります。

$x=h$ を代入すると $y=S$ となり，ちゃんとつじつまが合っているのが分かります。

これを積分すると

$\displaystyle V=\int_0^h \cfrac{S}{h^2}x^2\enspace dx$
$=\cfrac{S}{h^2}\Big[\cfrac{1}{3}x^3\Big]_0^h$
$=\cfrac{S}{h^2}\cdot\cfrac{1}{3}h^3$
$=\cfrac{1}{3}Sh$

これで，体積＝$\cfrac{1}{3}\times$ 底面積 × 高さ　の公式ができあがりました。

まとめ

ここでは，円すいの体積を回転体として捉え，積分によって求めました。また，相似な図形の面積比の関係を利用して，底面がどのような形であっても，同じ式が成り立つことを学びました。

すい体の公式に $\cfrac{1}{3}$ が含まれるのは，面積の比が辺の比の２乗であるため，それを積分したときに $\cfrac{1}{3}$ という係数が出現するからである，と結論付けることができます。