【数IAデータの分析】分散の公式(2乗の平均ー平均の2乗)はなぜ成り立つの？例題で使い方をマスター

分散の公式を変形する

まず，最初に習った分散を求める公式からおさらいしましょう。分散とは偏差の2乗の平均のことでした。

まず，データを $x_1,x_2,\cdots,x_n$ とし，平均を $\bar{x}$ とします。偏差は平均からデータの値を引いたものです。

たとえば，$x_1$ の偏差は $\bar{x}-x_1$ を表すことができます。

そして平均とはすべての値を足してデータの個数で割ったものだから，分散 $s^2$ は

$s^2=\cfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+\cdots+(\bar{x}-x_n)^2}{n}$

分子を展開すると

$(\bar{x}-x_1)^2=\bar{x}^2-2x_1\bar{x}+{x_1}^2$
$(\bar{x}-x_2)^2=\bar{x}^2-2x_2\bar{x}+{x_2}^2$
・・・・
$(\bar{x}-x_n)^2=\bar{x}^2-2x_n\bar{x}+{x_n}^2$

これらを３つの項に分けて考え，それぞれ足し合わせます。

最初の項は $\bar{x}^2$ が $n$ 個あるので $n\bar{x}^2$ です。

２番目の項は $\bar{x}$ が共通しているので $-2\bar{x}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$ です。

３番目の項は ${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2$ です。

そして，それぞれの式を $n$ で割ります。

１番目の項

$\cfrac{n\bar{x}^2}{n}=\bar{x}^2$

２番目の項

$-\cfrac{2\bar{x}(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n}=-2\bar{x}^2$

３番目の項

$\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}$ (2乗の平均)

3つを合わせると

$s^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}-\bar{x}^2$ ・・・(＊)

(2乗の平均－平均の2乗) 

練習問題

16 個の値からなるデータがあり，そのうち 10 個の値の平均値は 3，分散は 2，残りの 6 個の値の平均値は 11，分散は 10 である。

(1) 16 個のデータの平均値を求めよ。

$3\times10+11\times6=30+66=96$
$96\div16=6$ (答え)

(2) 16 個のデータの分散を求めよ。

公式 $s^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}-\bar{x}^2$ ・・・(＊)を用いる。

16 個のデータを $x_1,x_2,\cdots,x_{10}$ の 10 個と $x_{11},\cdots,x_{16}$ の 6 個に分けると

${s_1}^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{10}}^2}{10}-3^2=2$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{10}}^2=110$ ・・・①

また

${s_2}^2=\cfrac{{x_{11}}^2+\cdots+{x_{16}}^2}{6}-11^2=10$
${x_{11}}^2+\cdots+{x_{16}}^2=786$ ・・・②

①＋②

${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{16}}^2=896$

これを再び公式(＊)にあてはめると，16個のデータの平均値が 6 であることに注意して

$s^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{16}}^2}{16}-6^2$
$=\cfrac{896}{16}-36=20$ (答え)