【数IIB2次関数】相加・相乗平均を用いて最小値を求める方法(北海道大2020文系第1問)

$k$ を正の実数とする。座標平面上に直線 $\ell:y=kx+1$ と放物線 $C:y=x^2$ がある。$\ell$ と $C$ の交点のうち $x$ 座標の小さい方を P，大きい方を Q とする。さらに，線分 PQ の垂直二等分線を $m$ とし，$m$ と $C$ の交点のうち $x$ 座標の小さい方を R，大きい方を S とする。(北海道大2020)

(1) 線分 PQ の中点 M の座標を $k$ を用いて表せ。

(2) $k$ が正の実数を動くとき，線分 RS の中点 N の $y$ 座標が最小となる $k$ の値を求めよ。また，そのときの P と Q の座標を求めよ。

中点の座標を求める

(1)から始めます。

中点を求めるためには，P と Q の座標が必要です。そこで，$\ell$ と $C$ の交点座標を求めます。

$\ell:y=kx+1$ ・・・①
$C:y=x^2$ ・・・②

より

$kx+1=x^2$
$x^2-kx-1=0$
$x=\cfrac{k\pm\sqrt{k^2+4}}{2}$

中点を求めます。

M(X, Y) として

$\text{X}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{k-\sqrt{k^2+4}}{2}+\cfrac{k+\sqrt{k^2+4}}{2}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}\cdot k=\cfrac{k}{2}$

 ① に代入して

$\text{Y}=k\cdot\cfrac{k}{2}+1$
$=\cfrac{k^2}{2}+1$

したがって

M$\Big(\cfrac{k}{2},\cfrac{k^2}{2}+1\Big)$ (答え)

相加相乗平均を用いて最小値を求める

(2)に進みます。

(1)と同様に中点を求めるので，R と S の座標を考えていきます。

直線 $m$ は垂直二等分線だから，$\ell$ の傾きが $k$ のとき，$m$ の傾きは $-\cfrac{1}{k}$ となります。

つまり，$m$ は点 M を通る傾き $-\cfrac{1}{k}$ の直線であると言えます。ここから，直線の方程式を作りましょう。

$m:y-\cfrac{k^2}{2}-1=-\cfrac{1}{k}\Big(x-\cfrac{k}{2}\Big)$
$y=-\cfrac{1}{k}\Big(x-\cfrac{k}{2}\Big)+\cfrac{k^2}{2}+1$ ・・・③

$m$ と $C$ の交点座標を求めます。

$x^2=-\cfrac{1}{k}\Big(x-\cfrac{k}{2}\Big)+\cfrac{k^2}{2}+1$
$x^2+\cfrac{1}{k}\Big(x-\cfrac{k}{2}\Big)-\cfrac{k^2}{2}-1=0$
$x^2+\cfrac{1}{k}x-\cfrac{1}{2}-\cfrac{k^2}{2}-1=0$
$x^2+\cfrac{1}{k}x-\cfrac{k^2}{2}-\cfrac{3}{2}=0$
$x=\cfrac{-\cfrac{1}{k}\pm\sqrt{\cfrac{1}{k^2}+2k^2+6}}{2}$

N(X, Y) とすると

$\text{X}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{-\cfrac{1}{k}-\sqrt{\cfrac{1}{k^2}+2k^2+6}}{2}+\cfrac{-\cfrac{1}{k}+\sqrt{\cfrac{1}{k^2}+2k^2+6}}{2}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{-\cfrac{2}{k}}{2}=-\cfrac{1}{2k}$

③に代入して

$\text{Y}=-\cfrac{1}{k}\Big(-\cfrac{1}{2k}-\cfrac{k}{2}\Big)+\cfrac{k^2}{2}+1$
$=\cfrac{1}{2k^2}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{k^2}{2}+1$
$=\cfrac{1}{2k^2}+\cfrac{k^2}{2}+\cfrac{3}{2}$

N の $y$ 座標が $\cfrac{1}{2k^2}+\cfrac{k^2}{2}+\cfrac{3}{2}$ であることが分かりました。これは $k$ の関数であると言えるので，この関数の最小値を求めることになります。

ここは平方完成では解決しそうにないので，相加・相乗平均を用います。

相加・相乗平均より

$\cfrac{1}{2k^2}+\cfrac{k^2}{2}\geqq2\sqrt{\cfrac{1}{2k^2}\cdot\cfrac{k^2}{2}}$
$\geqq2\sqrt{\cfrac{1}{4}}$
$\geqq1$

よって

$\cfrac{1}{2k^2}+\cfrac{k^2}{2}+\cfrac{3}{2}\geqq1+\cfrac{3}{2}$
$\geqq\cfrac{5}{2}$

これで中点 N の $y$ 座標の最小値は $\cfrac{5}{2}$ であることが分かりました。ここから，$k$ の値を求めます。

$\cfrac{1}{2k^2}+\cfrac{k^2}{2}+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5}{2}$ として

$\cfrac{1}{2k^2}+\cfrac{k^2}{2}-1=0$

両辺に $2k^2$ をかけて

$1+k^4-2k^2=0$
$k^4-2k^2+1=0$
$(k^2-1)^2=0$
$k^2=1$
$k=\pm1$

問題文より，$k$ は正の実数だから

$k=1$ (答え)

このときの，P と Q の座標を求めます。

P の座標は

$x=\cfrac{1-\sqrt{1^2+4}}{2}=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

①に代入して

$y=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}+1=\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

Q の座標は

$x=\cfrac{1+\sqrt{1^2+4}}{2}=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

①に代入して

$y=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}$

したがって

P$\Big(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2},\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Big)$
Q$\Big(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2},\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Big)$ (答え)