【数II二項定理】(a+b+c)^n の展開式の係数を求める

[問題] $(a+b+c)^6$ における $a^3bc^2$ の項の係数を求めよ。

公式を使って解く方法

公式を当てはめると

$\cfrac{6!}{3!1!2!}=\cfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot1\cdot2}$

$=60$ (答え)

公式を使わない方法

式を二項定理の形にします。

$(a+b+c)^6$

$(a+b)=A$ とすると

$(A+c)^6$

$=_6C_0A^6c^0+_6C_1A^5c^1+_6C_2A^4c^2+\cdots+_6C_6A^0c^6$

求めるのは $a^3bc^2$ の項の係数だから，$c^2$ を含む項のみを考えます。式を見ると

$_6C_2A^4c^2$ ・・・①

$A^4=(a+b)^4$ より，ふたたび二項定理を用いて

$=_4C_0a^4b^0+_4C_1a^3b^1+_4C_2a^2b^2+_4C_3a^1b^3+_4C_4a^0b^4$

この中で，$a^3b$ の項は

$_4C_1a^3b^1$ ・・・②

②を①に代入すると

$_6C_2\times_4C_1a^3bc^2$

つまり，求める係数は

$_6C_2\times_4C_1=\cfrac{6\cdot5}{2}\cdot4=60$ (答え)

手順をまとめると

$(a+b+c)^6$ を $\{(a+b)+c\}^6$ として

$(a+b)^4c^2$ の係数は $_6C_2$

今度は $(a+b)^4$ で考えて

$a^3b$ の係数は $_4C_1$

よって，$a^3bc^2$ の係数は $_6C_2\times_4C_1=60$ (答え)

場合の数と二項定理