【数II領域】不等式の表す領域の範囲を求める(北海道大2017理系第5問)

座標平面上の 3 点 A$(1,0)$，B$(3,1)$，C$(2,2)$ を頂点とする△ABCの内部および境界を $T$ とおく。実数 $a$ に対して，条件

$\text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2\leqq a$

を満たす座標平面上の点 P の全体を $D$ とする。ただし，AP は点 A と点 P の距離を表す。

(1) $D$ が少なくとも 1 つの点 P を含むような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $D$ が $T$ を含むような $a$ の値の範囲を求めよ。

(3) (1)のもとで，$D$ が $T$ に含まれるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(北海道大2017)

円の方程式

(1)から始めます。

とりあえず，点 P がどこかに存在しているということなので，P$(x,y)$ として問題文の不等式に当てはめてみます。

$\text{AP}^2$ は三平方の定理を用いて

$\text{AP}^2=(x-1)^2+y^2$
$=x^2+y^2-2x+1$

$\text{BP}^2=(x-3)^2+(y-1)^2$
$=x^2+y^2-6x-2y+10$

$\text{CP}^2=(x-2)^2+(y-2)^2$
$=x^2+y^2-4x-4y+8$

よって

$\text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2$
$=3x^2+3y^2-12x-6y+19$

$=3(x^2-4x)+3(y^2-2y)+19$
$=3(x-2)^2-12+3(y-1)^2-3+19$

$3(x-2)^2+3(y-1)^2+4\leqq a$
$(x-2)^2+(y-1)^2\leqq\cfrac{a-4}{3}$

点 P は $(2,1)$ を中心する半径 $\cfrac{a-4}{3}$ の円周上かその内部にあり，これが領域 $D$ です。
領域 $D$ が存在すれば少なくとも 1 つの点 P を含みます。つまり，半径が 0 以上であれば良いことになります。

半径 0 の円は存在しないように思えるかもしれませんが，円の方程式を

$(x-2)^2+(y-1)^2=0$

とすると，点 P の座標が $(2,1)$ のとき

$(2-2)^2+(1-1)^2=0$

となり，方程式が成り立ちます。つまり，半径が 0 のときでも，領域 $D$ は $(2,1)$ の点を 1 か所だけ含むことになるのです。

したがって

$0\leqq\cfrac{a-4}{3}$
$0\leqq a-4$
$a\geqq4$ (答え)

領域の最小を求める

(2)に進みます。

(1)より，領域 $D$ は

$D: (x-2)^2+(y-1)^2\leqq\cfrac{a^4}{3}$

グラフを書いてみると，円が点 A を通るとき，その半径がもっとも小さくなることが分かります。
そこで，円が点 A を通るとして，$(x,y)=(1,0)$ を代入してみます。

$(1-2)^2+(0-1)^2\leqq\cfrac{a-4}{3}$
$2\leqq\cfrac{a-4}{3}$
$6\leqq a-4$
$a\geqq10$ (答え)

点と直線の距離

(3)に進みます。

今度は，$D$ が $T$ に含まれる場合なので，(2) とは反対の関係になります。

今度は円の半径がもっとも大きくなる場合を考えると良いでしょう。
そのためには，△ABCのそれぞれの辺と円の中心との距離を調べる必要があります。

ここで，点と直線の距離の公式を使います。

点と直線の距離
点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は
$d=\cfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

公式を使うためには直線の式が必要です。

直線 AB の方程式は
$y-0=\cfrac{1-0}{3-1}(x-1)$
$y=\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{2}$
$\cfrac{1}{2}x-y-\cfrac{1}{2}=0$
$x-2y-1=0$ ・・・①

直線 BC の方程式は
$y-1=\cfrac{2-1}{2-3}(x-3)$
$y-1=-(x-3)$
$y-1=-x+3$
$x+y-4=0$ ・・・②

直線 CA の方程式は
$y-2=\cfrac{0-2}{1-2}(x-2)$
$y-2=2(x-2)$
$y-2=2x-4$
$2x-y-2=0$ ・・・③

I と直線 AB の距離は
$d=\cfrac{|2-2\cdot1-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
$=\cfrac{1}{\sqrt{5}}$

I と直線 BC の距離は
$d=\cfrac{|2+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$

I と直線 CA の距離は
$d=\cfrac{|2\cdot2-1-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}$
$=\cfrac{1}{\sqrt{5}}$

$\cfrac{1}{\sqrt{5}}\leqq\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ だから
半径が $\cfrac{1}{\sqrt{5}}$ のとき，円は最大となる。

したがって
$\cfrac{a-4}{3}\leqq\Big(\cfrac{1}{\sqrt{5}}\Big)^2$
$\cfrac{a-4}{3}\leqq\cfrac{1}{5}$
$5(a-4)\leqq3$
$5a-20\leqq3$
$5a\leqq23$
$a\leqq\cfrac{23}{5}$

(1)より $a\geqq4$ だから

$4\leqq a\leqq\cfrac{23}{5}$ (答え)