数IAIIB東京都立大高校数学の解法

東京都立大2015文系第1問【IA場合の数】5 人をいくつかの組に分ける方法

A,B,C,D,E の 5 人をいくつかの組に分ける。ただし,組同士は区別せず,どの組も 1 人以上を含んでいるとする。このとき,以下の問いに答えなさい。(東京都立大2015)

(1) A が 3 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい。

(2) A が 2 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい。

(3) 5 人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい。

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2つの組に分ける場合

(1)から始めます。

3 人の組を一つ作るとき,分け方としては 3-2 と,3-1-1 人の組に分ける方法があります。

(i) 3 - 2 人の組に分ける場合

3 人のうち一人は A で,残りの 2 人を 4 人のうちから選びます。

$_4C_2=\cfrac{4\cdot3}{2}=6$

こうして,3 人の組が決まれば,もう一つの組の 2 人も自動的に決まるので,6 通りです。

(ii) 3-1-1 人の組に分ける場合

この場合も,3 人の組が決まれば他の組も自動的に決まります。1 人の組は区別しないので,例えば ABC-D-E と分ける場合と,ABC-E-D と分ける場合は同じものとして 1 通りと数えます。

区別しないんだ。

そうね,人数が違ったら区別するけど,人数同じなら区別しない。

したがって

$6+6=12$ 通り (答え)

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2 つの組に分ける場合~その2

(2)に進みます。

(i) 2-3 人の組に分ける場合

2 人の組のうち 1 人は A だから,残りの 1 人を選びます。

$_4C_1=4$

2 人の組が決まれば,3 人の組も自動的に決まります。

(ii) 2-2-1 人の組に分ける場合

A が入る 2 人の組は(i)と同様 4 通りです。そして,もう一つ 2 人の組があるので,残りの 3 人の中から 2 人を選びます。2 つの 2 人組が決まれば最後の 1 人も決まるので 1 通りとなり,計算には入れません。

$_4C_1\times_3C_2=12$

(iii) 2-1-1-1 人の組に分ける場合

上と同様で 2 人の組は 4 通りです。残りの 1 人の組は区別しないので 1 通りです。

$_4C_1=4$

したがって

$4+12+4=20$ 通り (答え)

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分け方をすべて求める

(3)に進みます。

ここは,5 人の分け方を地道に調べる必要があります。数え忘れに注意しましょう。

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline 1-4&_5C_1\\\hline1-3-1&_5C_3\\\hline1-2-2&\cfrac{_5C_2\times_3C_2}{2}\\\hline1-2-1-1&_5C_2\\\hline1-1-1-1-1&1\\\hline2-3&_5C_2\\\hline5&1\\\hline\end{array}$

したがって

$_5C_1+_5C_3+\cfrac{_5C_2\times_3C_2}{2}+_5C_2+1+_5C_2+1$
$=5+10+15+10+1+10+1$
$=52$ 通り (答え)

1-2-2 人のときの分け方には注意が必要です。(2)でも同じ形が出てきましたが,(2)では 2 人の組の初めの一つに A が含まれるという条件でした。

何か違うの?


(2)のときは,A が固定されていたので,AB-CD-E というパターンは数えても,CD-AB-E というパターンはもともと数えていません。

それに対して,$_5C_2\times_3C_2$ という数え方をすると,AB-CD-E と CD-AB-E を 2 通りとして数えることになるので,2 で割って 1 通りにする必要があるのです。

じゃあ,A 固定して数えたら?

それやると,今度は BC-DE-A みたいに A が 1 人のパターンが抜けるから,それもそれでやっかい。2 組を区別しないなら,2 で割るって覚えておいた方が話早いだろうね。


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