【IA場合の数】5 人をいくつかの組に分ける方法(東京都立大2015文系第1問)

A，B，C，D，E の 5 人をいくつかの組に分ける。ただし，組同士は区別せず，どの組も 1 人以上を含んでいるとする。このとき，以下の問いに答えなさい。（東京都立大2015）

(1) A が 3 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい。

(2) A が 2 人の組に含まれるような分け方は何通りあるか求めなさい。

(3) 5 人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求めなさい。

2つの組に分ける場合

(1)から始めます。

3 人の組を一つ作るとき，分け方としては 3－2 と，3－1－1 人の組に分ける方法があります。

(i) 3 － 2 人の組に分ける場合

3 人のうち一人は A で，残りの 2 人を 4 人のうちから選びます。

$_4C_2=\cfrac{4\cdot3}{2}=6$

こうして，3 人の組が決まれば，もう一つの組の 2 人も自動的に決まるので，6 通りです。

(ii) 3－1－1 人の組に分ける場合

この場合も，3 人の組が決まれば他の組も自動的に決まります。1 人の組は区別しないので，例えば ABC－D－E と分ける場合と，ABC－E－D と分ける場合は同じものとして 1 通りと数えます。

したがって

$6+6=12$ 通り　（答え）

2 つの組に分ける場合～その２

(2)に進みます。

(i) 2－3 人の組に分ける場合

2 人の組のうち 1 人は A だから，残りの 1 人を選びます。

$_4C_1=4$

2 人の組が決まれば，3 人の組も自動的に決まります。

(ii) 2－2－1 人の組に分ける場合

A が入る 2 人の組は(i)と同様 4 通りです。そして，もう一つ 2 人の組があるので，残りの 3 人の中から 2 人を選びます。2 つの 2 人組が決まれば最後の 1 人も決まるので 1 通りとなり，計算には入れません。

$_4C_1\times_3C_2=12$

(iii) 2－1－1－1 人の組に分ける場合

上と同様で 2 人の組は 4 通りです。残りの 1 人の組は区別しないので 1 通りです。

$_4C_1=4$

したがって

$4+12+4=20$ 通り　（答え）

分け方をすべて求める

(3)に進みます。

ここは，5 人の分け方を地道に調べる必要があります。数え忘れに注意しましょう。

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|}\hline 1-4&_5C_1\\\hline1-3-1&_5C_3\\\hline1-2-2&\cfrac{_5C_2\times_3C_2}{2}\\\hline1-2-1-1&_5C_2\\\hline1-1-1-1-1&1\\\hline2-3&_5C_2\\\hline5&1\\\hline\end{array}$

したがって

$_5C_1+_5C_3+\cfrac{_5C_2\times_3C_2}{2}+_5C_2+1+_5C_2+1$
$=5+10+15+10+1+10+1$
$=52$ 通り　（答え）

1－2－2 人のときの分け方には注意が必要です。(2)でも同じ形が出てきましたが，(2)では 2 人の組の初めの一つに A が含まれるという条件でした。

(2)のときは，A が固定されていたので，AB－CD－E というパターンは数えても，CD－AB－E というパターンはもともと数えていません。

それに対して，$_5C_2\times_3C_2$ という数え方をすると，AB－CD－E と CD－AB－E を 2 通りとして数えることになるので，2 で割って 1 通りにする必要があるのです。