数IAIIB横浜国立大高校数学の解法

横浜国立大2018文系第3問 2つの曲線に囲まれた領域の面積を求める(公式を使わない方法)

$xy$ 平面上に放物線 $C_1:y=x^2$ と点 P$(p,q)$ $(q>p^2)$ があり,P を通り傾きが $t$ の直線を $\ell$ とする。さらに,$C_1$ と $\ell$ との 2 つの交点を結ぶ線分の中点において,放物線 $C_2:y=-x^2+ax+b$ が $\ell$ と接している。次の問いに答えよ。

(1) $a$,$b$ を求めよ。

(2) $C_1$ と $C_2$ で囲まれる領域の面積を求めよ。

(3) $t$ が実数全体を動くとき,(2)で求めた面積の最小値を求めよ。

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条件を式に表す

(1)から始めます。

何やっていいかひらめかない。

こういうときは問題文に書いてあることを式で表すことから始める。数式⇒数式の作業はコンピューターにさせれば良い。人間に求められる能力は現象⇒数式。

まずは,$\ell$ を数式で表しましょう。

$\ell$ は$(p,q)$ を通る 傾き $t$ の直線だから

$\ell:y-q=t(x-p)$

$y=tx-pt+q$

$C_1$ と $\ell$ が共通点を持つので

$x^2=tx-pt+q$
$x^2-tx+pt-q=0$

次に中点を考えます。方程式の解を $\alpha$,$\beta$ とすると中点の $x$ 座標は $\cfrac{\alpha+\beta}{2}$ です。

ここから,解と係数の関係を用いると良さそうです。

解と係数の関係より

$\alpha+\beta=t$

よって,中点の $x$ 座標は

$\cfrac{\alpha+\beta}{2}=\cfrac{t}{2}$

さらに,$\ell$ と $C_2$ は共通点を持つので

$tx-pt+q=-x^2+ax+b$
$x^2+(t-a)x-pt+q-b=0$

$x=\cfrac{t}{2}$ を代入すると

$\cfrac{t^2}{4}+\cfrac{t}{2}(t-a)-pt+q-b=0$
$t^2+2t^2-2at-4pt+4a-4b=0$ ・・・①

$\ell$ と $C_2$ は 1 点で接するので,判別式は

$D=(t-a)^2-4(-pt+q-b)=0$
$t^2-2at+a^2+4pt-4q+4b=0$ ・・・②

式を連立すると

①+②

$4t^2-4at+a^2=0$
$a^2-4at+4t^2=0$
$(a-2t)^2=0$
$a=2t$

①に代入して

$t^2+2t^2-4t^2-4pt+4q-4b=0$

$4b=-t^2-4pt+4q$
$b=q-pt-\cfrac{t^2}{4}$

したがって

$(a,b)=\Big(2t,q-pt-\cfrac{t^2}{4}\Big)$

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2 つの曲線で囲まれた領域の面積

(2)に進みます。

2 つの曲線で囲まれた領域の面積を求めます。このパターンは受験テクニックとして公式が存在するのですが,ここでは公式を使わずに解いてみます。

面積を求めるには「上引く下」で考えるので,グラフの概形を描いて $C_2$ から $C_1$ を引いたものを積分することを確認しましょう。

$C_1$ と $C_2$ の交点を $\alpha$,$\beta$ $(\alpha<\beta)$ とすると

$\displaystyle S=\int_\alpha^\beta-x^2+ax+b-x^2\space dx$
$\displaystyle=\int_\alpha^\beta-2x^2+ax+b\space dx$
$=\Big[-\cfrac{2}{3}x^3+\cfrac{a}{2}x^2+bx\Big]_\alpha^\beta$
$=-\cfrac{2}{3}(\beta^3-\alpha^3)+\cfrac{a}{2}(\beta^2-\alpha^2)+b(\beta-\alpha)$

解と係数の関係を利用することを考えて,式を $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ の形に持ち込みます。

$=-\cfrac{2}{3}(\beta-\alpha)(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+\cfrac{a}{2}(\alpha+\beta)(\beta-\alpha)+b(\beta-\alpha)$

$=(\beta-\alpha)\Big\{-\cfrac{2}{3}((\alpha+\beta)^2-\alpha\beta)+\cfrac{a}{2}(\alpha+\beta)+b\Big\}$

解と係数の関係を求めます。

$-2x^2+ax+b=0$ とすると

$\alpha+\beta=\cfrac{a}{2}$,$\alpha\beta=-\cfrac{b}{2}$

また

$(\beta-\alpha)^2=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2$
$=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$
$=\cfrac{a^2}{4}+2b$
$\beta-\alpha=\sqrt{\cfrac{a^2}{4}+2b}$

これらを代入すると

$S=\sqrt{\cfrac{a^2}{4}+2b}\Big\{-\cfrac{2}{3}\Big(\cfrac{a^2}{4}+\cfrac{b}{2}\Big)+\cfrac{a^2}{4}+b\Big\}$
$S=\sqrt{\cfrac{a^2}{4}+2b}\Big(-\cfrac{a^2}{6}-\cfrac{b^2}{3}+\cfrac{a^2}{4}+b\Big)$
$S=\sqrt{\cfrac{a^2}{4}+2b}\Big(\cfrac{a^2}{12}+\cfrac{2}{3}b\Big)$
$S=\sqrt{\cfrac{a^2}{4}+2b}\cdot\cfrac{1}{3}\Big(\cfrac{a^2}{4}+2b\Big)$
$S=\cfrac{1}{3}\Big(\cfrac{a^2}{4}+2b\Big)^{\small{\frac{3}{2}}}$
$=\cfrac{1}{3}\Big(t^2+2q-2pt-\cfrac{t^2}{2}\Big)^{\small{\frac{3}{2}}}$
$=\cfrac{1}{3}\Big(\cfrac{t^2}{2}-2pt+2q\Big)^{\small{\frac{3}{2}}}$ (答え)

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平方完成

(3)に進みます。

式を平方完成して最小値を求めましょう。

$S=\cfrac{1}{3}\Big(\cfrac{t^2}{2}-2pt+2q\Big)^{\small{\frac{3}{2}}}$ より

$f(t)=\cfrac{t^2}{2}-2pt+2q$ として,平方完成すると

$=\cfrac{1}{2}(t^2-4pt)+2q$
$=\cfrac{1}{2}(t-2p)^2-2p^2+2q$

よって,$f(t)$ の最小値は $-2p^2+2q$

したがって,最小値は

$\cfrac{1}{3}\Big(-2p^2+2q)^{\small{\frac{3}{2}}}$
$=\cfrac{1}{3}\cdot2^{\small{\frac{3}{2}}}\cdot\Big(q-p^2\Big)^{\small{\frac{3}{2}}}$
$=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}(q-p^2)^{\small{\frac{3}{2}}}$ (答え)

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